다음을 풀어보세요: -1/2x^2-3/2x+4=0

$$- \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x + 4 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{41} - 3}{2} \approx 1.701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}\approx -4.701562119$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -\frac{1}{2}을(를) a로, -\frac{3}{2}을(를) b로, 4을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

-4에 -\frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}+2\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}+8}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

\frac{9}{4}을(를) 8에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{41}{4}}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

\frac{41}{4}의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\frac{\sqrt{41}}{2}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

-\frac{3}{2}의 반대는 \frac{3}{2}입니다.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

2에 -\frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1}을(를) 풉니다. \frac{3}{2}을(를) \frac{\sqrt{41}}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{-2}$$

\frac{3+\sqrt{41}}{2}을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1}을(를) 풉니다. \frac{3}{2}에서 \frac{\sqrt{41}}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{-2}$$

\frac{3-\sqrt{41}}{2}을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2} x=\frac{\sqrt{41}-3}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4=0$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4-4=-4$$

자신에서 4을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x=-4$$

양쪽에 -2을(를) 곱합니다.

$$\frac{-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x}{-\frac{1}{2}}=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

-\frac{1}{2}(으)로 나누면 -\frac{1}{2}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}\right)x=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

-\frac{3}{2}에 -\frac{1}{2}의 역수를 곱하여 -\frac{3}{2}을(를) -\frac{1}{2}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

-4에 -\frac{1}{2}의 역수를 곱하여 -4을(를) -\frac{1}{2}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=8$$

x 항의 계수인 3을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=8+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=8+\frac{9}{4}$$

8을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{41}{4}$$

x^{2}+3x+\frac{9}{4}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}$$