다음을 풀어보세요: -1/12x^2+2/3x+5/3=0

$$- \frac { 1 } { 12 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 5 } { 3 } = 0$$

x에 대한 해

$$x=-2$$

$$x=10$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -\frac{1}{12}을(를) a로, \frac{2}{3}을(를) b로, \frac{5}{3}을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{2}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

-4에 -\frac{1}{12}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{1}{3}에 \frac{5}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4+5}{9}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{9}을(를) \frac{5}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

1의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

2에 -\frac{1}{12}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}을(를) 풉니다. -\frac{2}{3}을(를) 1에 추가합니다.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

\frac{1}{3}에 -\frac{1}{6}의 역수를 곱하여 \frac{1}{3}을(를) -\frac{1}{6}(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}을(를) 풉니다. -\frac{2}{3}에서 1을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

-\frac{5}{3}에 -\frac{1}{6}의 역수를 곱하여 -\frac{5}{3}을(를) -\frac{1}{6}(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2 x=10$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}$$

자신에서 \frac{5}{3}을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{3}$$

양쪽에 -12을(를) 곱합니다.

$$\frac{-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x}{-\frac{1}{12}}=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

-\frac{1}{12}(으)로 나누면 -\frac{1}{12}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{12}}x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

\frac{2}{3}에 -\frac{1}{12}의 역수를 곱하여 \frac{2}{3}을(를) -\frac{1}{12}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-8x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

-\frac{5}{3}에 -\frac{1}{12}의 역수를 곱하여 -\frac{5}{3}을(를) -\frac{1}{12}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-8x=20$$

x 항의 계수인 -8을(를) 2(으)로 나눠서 -4을(를) 구합니다. 그런 다음 -4의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

20을(를) 16에 추가합니다.

$$x^{2}-8x+16=36$$

인수 x^{2}-8x+16. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

단순화합니다.

$$x-4=6 x-4=-6$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$x=10 x=-2$$