다음을 풀어보세요: (100-x)(1300-5x)=32000

$$(100-x)(1300-5x)=32000$$

x에 대한 해

$$x=80\sqrt{2}+180\approx 293.13708499$$

$$x=180-80\sqrt{2}\approx 66.86291501$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 100-x에 1300-5x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

양쪽 모두에서 32000을(를) 뺍니다.

$$130000-1800x+5x^{2}-32000=0$$

130000에서 32000을(를) 빼고 98000을(를) 구합니다.

$$98000-1800x+5x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}-1800x+98000=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -1800을(를) b로, 98000을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{\left(-1800\right)^{2}-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

-1800을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-20\times 98000}}{2\times 5}$$

-20에 98000을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-1960000}}{2\times 5}$$

3240000을(를) -1960000에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{1280000}}{2\times 5}$$

1280000의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

-1800의 반대는 1800입니다.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}을(를) 풉니다. 1800을(를) 800\sqrt{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{800\sqrt{2}+1800}{10}$$

1800+800\sqrt{2}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=80\sqrt{2}+180$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}을(를) 풉니다. 1800에서 800\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{1800-800\sqrt{2}}{10}$$

1800-800\sqrt{2}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=180-80\sqrt{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 100-x에 1300-5x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

양쪽 모두에서 130000을(를) 뺍니다.

$$-1800x+5x^{2}=32000-130000$$

32000에서 130000을(를) 빼고 -98000을(를) 구합니다.

$$-1800x+5x^{2}=-98000$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}-1800x=-98000$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-1800x}{5}=-\frac{98000}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{1800}{5}\right)x=-\frac{98000}{5}$$

-1800을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-360x=-\frac{98000}{5}$$

-98000을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-360x=-19600$$

x 항의 계수인 -360을(를) 2(으)로 나눠서 -180을(를) 구합니다. 그런 다음 -180의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-360x+\left(-180\right)^{2}=-19600+\left(-180\right)^{2}$$

-180을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-360x+32400=-19600+32400$$

-19600을(를) 32400에 추가합니다.

$$x^{2}-360x+32400=12800$$

인수 x^{2}-360x+32400. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-180\right)^{2}=12800$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-180\right)^{2}}=\sqrt{12800}$$

단순화합니다.

$$x-180=80\sqrt{2} x-180=-80\sqrt{2}$$

수식의 양쪽에 180을(를) 더합니다.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$