다음을 풀어보세요: (1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10.630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10.630145813i$$

근의 공식을 사용한 단계

수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

분배 법칙을 사용하여 2에 1+\frac{x}{2}(을)를 곱합니다.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2\times \frac{x}{2}을(를) 단일 분수로 표현합니다.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2과(와) 2을(를) 상쇄합니다.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2+x의 각 항과 1000-200x의 각 항을 곱하여 분배 법칙을 적용합니다.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

-400x과(와) 1000x을(를) 결합하여 600x(을)를 구합니다.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

분배 법칙을 사용하여 1000에 1+x(을)를 곱합니다.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

2000과(와) 1000을(를) 더하여 3000을(를) 구합니다.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

600x과(와) 1000x을(를) 결합하여 1600x(을)를 구합니다.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

양쪽 모두에서 28800을(를) 뺍니다.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

3000에서 28800을(를) 빼고 -25800을(를) 구합니다.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -200을(를) a로, 1600을(를) b로, -25800을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

1600을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

-4에 -200을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

800에 -25800을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

2560000을(를) -20640000에 추가합니다.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

-18080000의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

2에 -200을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}을(를) 풉니다. -1600을(를) 400i\sqrt{113}에 추가합니다.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

-1600+400i\sqrt{113}을(를) -400(으)로 나눕니다.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}을(를) 풉니다. -1600에서 400i\sqrt{113}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

-1600-400i\sqrt{113}을(를) -400(으)로 나눕니다.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

제곱 완성 단계

수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

분배 법칙을 사용하여 2에 1+\frac{x}{2}(을)를 곱합니다.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2\times \frac{x}{2}을(를) 단일 분수로 표현합니다.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2과(와) 2을(를) 상쇄합니다.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2+x의 각 항과 1000-200x의 각 항을 곱하여 분배 법칙을 적용합니다.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

-400x과(와) 1000x을(를) 결합하여 600x(을)를 구합니다.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

분배 법칙을 사용하여 1000에 1+x(을)를 곱합니다.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

2000과(와) 1000을(를) 더하여 3000을(를) 구합니다.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

600x과(와) 1000x을(를) 결합하여 1600x(을)를 구합니다.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

양쪽 모두에서 3000을(를) 뺍니다.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

28800에서 3000을(를) 빼고 25800을(를) 구합니다.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

양쪽을 -200(으)로 나눕니다.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

-200(으)로 나누면 -200(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

1600을(를) -200(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

25800을(를) -200(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-8x=-129$$

x 항의 계수인 -8을(를) 2(으)로 나눠서 -4을(를) 구합니다. 그런 다음 -4의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

-129을(를) 16에 추가합니다.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

인수 x^{2}-8x+16. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

단순화합니다.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$