다음을 풀어보세요: (x-4)(3x+6)+(x-4)(12x+48)=0

$$( x - 4 ) ( 3 x + 6 ) + ( x - 4 ) ( 12 x + 48 ) = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3.6$$

$$x=4$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

분배 법칙을 사용하여 x-4에 3x+6(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 x-4에 12x+48(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

3x^{2}과(와) 12x^{2}을(를) 결합하여 15x^{2}(을)를 구합니다.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

-24에서 192을(를) 빼고 -216을(를) 구합니다.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$5x^{2}-2x-72=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 5x^{2}+ax+bx-72(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-2 ab=5\left(-72\right)=-360$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -360을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-360 2,-180 3,-120 4,-90 5,-72 6,-60 8,-45 9,-40 10,-36 12,-30 15,-24 18,-20$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-360=-359 2-180=-178 3-120=-117 4-90=-86 5-72=-67 6-60=-54 8-45=-37 9-40=-31 10-36=-26 12-30=-18 15-24=-9 18-20=-2$$

이 해답은 합계 -2이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-20 b=18$$

5x^{2}-2x-72을(를) \left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right)$$

첫 번째 그룹 및 18에서 5x를 제한 합니다.

$$5x\left(x-4\right)+18\left(x-4\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-4을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-4\right)\left(5x+18\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-4=0을 해결 하 고, 5x+18=0.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 x-4에 3x+6(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 x-4에 12x+48(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

3x^{2}과(와) 12x^{2}을(를) 결합하여 15x^{2}(을)를 구합니다.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

-24에서 192을(를) 빼고 -216을(를) 구합니다.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 15을(를) a로, -6을(를) b로, -216을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

-6을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

-4에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-60\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

-60에 -216을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12960}}{2\times 15}$$

36을(를) 12960에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12996}}{2\times 15}$$

12996의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±114}{2\times 15}$$

-6의 반대는 6입니다.

$$x=\frac{6±114}{2\times 15}$$

2에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{6±114}{30}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{6±114}{30}을(를) 풉니다. 6을(를) 114에 추가합니다.

$$x=\frac{120}{30}$$

120을(를) 30(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{6±114}{30}을(를) 풉니다. 6에서 114을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{108}{30}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-108}{30}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{18}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 x-4에 3x+6(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 x-4에 12x+48(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

3x^{2}과(와) 12x^{2}을(를) 결합하여 15x^{2}(을)를 구합니다.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

-24에서 192을(를) 빼고 -216을(를) 구합니다.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

양쪽에 216을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$15x^{2}-6x=216$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$\frac{15x^{2}-6x}{15}=\frac{216}{15}$$

15(으)로 나누면 15(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{15}\right)x=\frac{216}{15}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-6}{15}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{216}{15}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{216}{15}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{72}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{2}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{72}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{72}{5}+\frac{1}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{72}{5}을(를) \frac{1}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{361}{25}$$

인수 x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{361}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{25}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{19}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{19}{5}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{5}을(를) 더합니다.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$