다음을 풀어보세요: (x-3)^2+(x+4)^2=16

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 16$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}\approx -0.5+2.061552813i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}\approx -0.5-2.061552813i$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+4\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 2x^{2}(을)를 구합니다.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

-6x과(와) 8x을(를) 결합하여 2x(을)를 구합니다.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

9과(와) 16을(를) 더하여 25을(를) 구합니다.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

양쪽 모두에서 16을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+2x+25-16=0$$

25에서 16을(를) 빼고 9을(를) 구합니다.

$$2x^{2}+2x+9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 2을(를) b로, 9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 9}}{2\times 2}$$

-8에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 2}$$

4을(를) -72에 추가합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 2}$$

-68의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}을(를) 풉니다. -2을(를) 2i\sqrt{17}에 추가합니다.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{4}$$

-2+2i\sqrt{17}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}을(를) 풉니다. -2에서 2i\sqrt{17}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{4}$$

-2-2i\sqrt{17}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+4\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 2x^{2}(을)를 구합니다.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

-6x과(와) 8x을(를) 결합하여 2x(을)를 구합니다.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

9과(와) 16을(를) 더하여 25을(를) 구합니다.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

양쪽 모두에서 25을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+2x=16-25$$

16에서 25을(를) 빼고 -9을(를) 구합니다.

$$2x^{2}+2x=-9$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{9}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{9}{2}$$

2을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{2}$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{9}{2}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

인수 x^{2}+x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$