다음을 풀어보세요: (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$x=1$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

x^{2}과(와) 4x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

-2x과(와) 8x을(를) 결합하여 6x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

1과(와) 4을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

양쪽 모두에서 16을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

5에서 16을(를) 빼고 -11을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 5x^{2}+ax+bx-11(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -55을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,55 -5,11$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

이 해답은 합계 6이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-5 b=11$$

5x^{2}+6x-11을(를) \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

첫 번째 그룹 및 11에서 5x를 제한 합니다.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-1=0을 해결 하 고, 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

x^{2}과(와) 4x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

-2x과(와) 8x을(를) 결합하여 6x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

1과(와) 4을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

양쪽 모두에서 16을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

5에서 16을(를) 빼고 -11을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, 6을(를) b로, -11을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

36을(를) 220에 추가합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

256의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-6±16}{10}을(를) 풉니다. -6을(를) 16에 추가합니다.

$$x=\frac{10}{10}$$

10을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-6±16}{10}을(를) 풉니다. -6에서 16을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{22}{10}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-22}{10}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{11}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

x^{2}과(와) 4x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

-2x과(와) 8x을(를) 결합하여 6x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

1과(와) 4을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

16에서 5을(를) 빼고 11을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+6x=11$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

x 항의 계수인 \frac{6}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{11}{5}을(를) \frac{9}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

인수 x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{5}을(를) 뺍니다.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$