다음을 풀어보세요: (x^{2}-x)^2+2x(x^2-1)=(x-1)^2(x+1)^2

$$( x ^ { 2 } - x ) ^ { 2 } + 2 x ( x ^ { 2 } - 1 ) = ( x - 1 ) ^ { 2 } ( x + 1 ) ^ { 2 }$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=1$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x^{2}-x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$x^{4}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

같은 기수의 제곱을 곱하려면 해당 지수를 더합니다. 2과(와) 1을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 2x에 x^{2}-1(을)를 곱합니다.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

-2x^{3}과(와) 2x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x^{2}-2x+1에 x^{2}+2x+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=x^{4}-2x^{2}+1$$

양쪽 모두에서 x^{4}을(를) 뺍니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x-x^{4}=-2x^{2}+1$$

x^{4}과(와) -x^{4}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$x^{2}-2x=-2x^{2}+1$$

양쪽에 2x^{2}을(를) 더합니다.

$$x^{2}-2x+2x^{2}=1$$

x^{2}과(와) 2x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}-2x=1$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx-1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 해당하는 쌍은 시스템 해답이 유일합니다.

$$a=-3 b=1$$

3x^{2}-2x-1을(를) \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

인수분해 3x^{2}-3x에서 3x를 뽑아냅니다.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-1=0을 해결 하 고, 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x^{2}-x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$x^{4}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

같은 기수의 제곱을 곱하려면 해당 지수를 더합니다. 2과(와) 1을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 2x에 x^{2}-1(을)를 곱합니다.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

-2x^{3}과(와) 2x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x^{2}-2x+1에 x^{2}+2x+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=x^{4}-2x^{2}+1$$

양쪽 모두에서 x^{4}을(를) 뺍니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x-x^{4}=-2x^{2}+1$$

x^{4}과(와) -x^{4}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$x^{2}-2x=-2x^{2}+1$$

양쪽에 2x^{2}을(를) 더합니다.

$$x^{2}-2x+2x^{2}=1$$

x^{2}과(와) 2x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}-2x=1$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -2을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

4을(를) 12에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2±4}{6}을(를) 풉니다. 2을(를) 4에 추가합니다.

$$x=\frac{6}{6}$$

6을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2±4}{6}을(를) 풉니다. 2에서 4을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{2}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-2}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x^{2}-x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$x^{4}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

같은 기수의 제곱을 곱하려면 해당 지수를 더합니다. 2과(와) 1을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 2x에 x^{2}-1(을)를 곱합니다.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

-2x^{3}과(와) 2x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x^{2}-2x+1에 x^{2}+2x+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x=x^{4}-2x^{2}+1$$

양쪽 모두에서 x^{4}을(를) 뺍니다.

$$x^{4}+x^{2}-2x-x^{4}=-2x^{2}+1$$

x^{4}과(와) -x^{4}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$x^{2}-2x=-2x^{2}+1$$

양쪽에 2x^{2}을(를) 더합니다.

$$x^{2}-2x+2x^{2}=1$$

x^{2}과(와) 2x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}-2x=1$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{2}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{3}을(를) \frac{1}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{3}을(를) 더합니다.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$