다음을 풀어보세요: (x+1)^2-5x(x+1)=0

$$( x + 1 ) ^ { 2 } - 5 x ( x + 1 ) = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=-1$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 -5x에 x+1(을)를 곱합니다.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

x^{2}과(와) -5x^{2}을(를) 결합하여 -4x^{2}(을)를 구합니다.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

2x과(와) -5x을(를) 결합하여 -3x(을)를 구합니다.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -4x^{2}+ax+bx+1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -4을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-4 2,-2$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-4=-3 2-2=0$$

이 해답은 합계 -3이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=1 b=-4$$

-4x^{2}-3x+1을(를) \left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)$$

첫 번째 그룹 및 -1에서 -x를 제한 합니다.

$$-x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 4x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(4x-1\right)\left(-x-1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 4x-1=0을 해결 하 고, -x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 -5x에 x+1(을)를 곱합니다.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

x^{2}과(와) -5x^{2}을(를) 결합하여 -4x^{2}(을)를 구합니다.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

2x과(와) -5x을(를) 결합하여 -3x(을)를 구합니다.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -4을(를) a로, -3을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

9을(를) 16에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

25의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

-3의 반대는 3입니다.

$$x=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

2에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3±5}{-8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{3±5}{-8}을(를) 풉니다. 3을(를) 5에 추가합니다.

$$x=\frac{8}{-8}$$

8을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{3±5}{-8}을(를) 풉니다. 3에서 5을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{2}{-8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-2}{-8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1 x=\frac{1}{4}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 -5x에 x+1(을)를 곱합니다.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

x^{2}과(와) -5x^{2}을(를) 결합하여 -4x^{2}(을)를 구합니다.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

2x과(와) -5x을(를) 결합하여 -3x(을)를 구합니다.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$-4x^{2}-3x=-1$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$\frac{-4x^{2}-3x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

-4(으)로 나누면 -4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)x=-\frac{1}{-4}$$

-3을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{-4}$$

-1을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

x 항의 계수인 \frac{3}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{4}을(를) \frac{9}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

인수 x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$