다음을 풀어보세요: (k+1/4)^2-1/16-1/5=0

$$( k + \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 16 } - \frac { 1 } { 5 } = 0$$

k에 대한 해

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx 0.262347538$$

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx -0.762347538$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

\frac{1}{16}에서 \frac{1}{16}을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, \frac{1}{2}을(를) b로, -\frac{1}{5}을(를) c로 치환합니다.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

-4에 -\frac{1}{5}을(를) 곱합니다.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{5}}}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{4}을(를) \frac{4}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{21}{20}}}{2}$$

\frac{21}{20}의 제곱근을 구합니다.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}을(를) 풉니다. -\frac{1}{2}을(를) \frac{\sqrt{105}}{10}에 추가합니다.

$$k=\frac{\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{105}}{10}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}을(를) 풉니다. -\frac{1}{2}에서 \frac{\sqrt{105}}{10}을(를) 뺍니다.

$$k=\frac{-\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{105}}{10}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

\frac{1}{16}에서 \frac{1}{16}을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

양쪽에 \frac{1}{5}을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k=\frac{1}{5}$$

x 항의 계수인 \frac{1}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{4}을(를) 제곱합니다.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{1}{5}+\frac{1}{16}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{5}을(를) \frac{1}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{21}{80}$$

인수 k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{80}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{80}}$$

단순화합니다.

$$k+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{105}}{20} k+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{20}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{4}을(를) 뺍니다.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$