다음을 풀어보세요: (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

x에 대한 해

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(9-5x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(9-5x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

분배 법칙을 사용하여 2에 81-90x+25x^{2}(을)를 곱합니다.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

81과(와) 162을(를) 더하여 243을(를) 구합니다.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

-90x과(와) -180x을(를) 결합하여 -270x(을)를 구합니다.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

25x^{2}과(와) 50x^{2}을(를) 결합하여 75x^{2}(을)를 구합니다.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

243에서 24을(를) 빼고 219을(를) 구합니다.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

부등식의 해를 구하려면 왼쪽을 인수 분해합니다. 이차 다항식은 변환 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 인수 분해할 수 있습니다, 여기서 x_{1} 및 x_{2}는 이차방정식 ax^{2}+bx+c=0의 해답입니다.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 75(으)로, b을(를) -270(으)로, c을(를) 219(으)로 대체합니다.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

계산을 합니다.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} 수식의 해를 찾습니다.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

얻은 해답을 사용하여 부등식을 다시 작성합니다.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

곱이 음수가 되려면 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} 및 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}이(가) 반대 부호여야 합니다. x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}이(가) 양수이고 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}이(가) 음수인 경우를 고려합니다.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

모든 x에 거짓입니다.

$$x\in \emptyset$$

x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}이(가) 양수이고 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}이(가) 음수인 경우를 고려합니다.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

두 부등식 모두를 만족하는 해답은 x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)입니다.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

최종 해답은 얻은 해의 합입니다.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$