다음을 풀어보세요: (76-4x)(8+2x)=1080

$$( 76 - 4 x ) ( 8 + 2 x ) = 1080$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}\approx 7.5+1.658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}\approx 7.5-1.658312395i$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 76-4x에 8+2x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

양쪽 모두에서 1080을(를) 뺍니다.

$$608+120x-8x^{2}-1080=0$$

608에서 1080을(를) 빼고 -472을(를) 구합니다.

$$-472+120x-8x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-8x^{2}+120x-472=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -8을(를) a로, 120을(를) b로, -472을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

120을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

-4에 -8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

32에 -472을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-15104}}{2\left(-8\right)}$$

14400을(를) -15104에 추가합니다.

$$x=\frac{-120±\sqrt{-704}}{2\left(-8\right)}$$

-704의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{2\left(-8\right)}$$

2에 -8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}을(를) 풉니다. -120을(를) 8i\sqrt{11}에 추가합니다.

$$x=\frac{-120+8\sqrt{11}i}{-16}$$

-120+8i\sqrt{11}을(를) -16(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}을(를) 풉니다. -120에서 8i\sqrt{11}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-8\sqrt{11}i-120}{-16}$$

-120-8i\sqrt{11}을(를) -16(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2} x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 76-4x에 8+2x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

양쪽 모두에서 608을(를) 뺍니다.

$$120x-8x^{2}=1080-608$$

1080에서 608을(를) 빼고 472을(를) 구합니다.

$$120x-8x^{2}=472$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-8x^{2}+120x=472$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=\frac{472}{-8}$$

-8(으)로 나누면 -8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=\frac{472}{-8}$$

120을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-15x=\frac{472}{-8}$$

472을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-15x=-59$$

x 항의 계수인 -15을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{15}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{15}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-59+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{15}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-59+\frac{225}{4}$$

-59을(를) \frac{225}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{11}{4}$$

인수 x^{2}-15x+\frac{225}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{15}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$