다음을 풀어보세요: (5x-4)^2=81

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

x에 대한 해

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

$$x=-1$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(5x-4\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

양쪽 모두에서 81을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

16에서 81을(를) 빼고 -65을(를) 구합니다.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 5x^{2}+ax+bx-13(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -65을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-65 5,-13$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

이 해답은 합계 -8이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-13 b=5$$

5x^{2}-8x-13을(를) \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

인수분해 5x^{2}-13x에서 x를 뽑아냅니다.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 5x-13을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 5x-13=0을 해결 하 고, x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(5x-4\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

양쪽 모두에서 81을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

16에서 81을(를) 빼고 -65을(를) 구합니다.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 25을(를) a로, -40을(를) b로, -65을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

-40을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

-4에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

-100에 -65을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

1600을(를) 6500에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

8100의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

-40의 반대는 40입니다.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

2에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{40±90}{50}을(를) 풉니다. 40을(를) 90에 추가합니다.

$$x=\frac{130}{50}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{130}{50}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{13}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{40±90}{50}을(를) 풉니다. 40에서 90을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{50}{50}$$

-50을(를) 50(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(5x-4\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

양쪽 모두에서 16을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

81에서 16을(를) 빼고 65을(를) 구합니다.

$$25x^{2}-40x=65$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

25(으)로 나누면 25(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

5을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-40}{25}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

5을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{65}{25}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{8}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{4}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{4}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{4}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{13}{5}을(를) \frac{16}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

인수 x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

수식의 양쪽에 \frac{4}{5}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$