다음을 풀어보세요: (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

x에 대한 해

$$x=-1$$

$$x=2$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(5x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 1을(를) 제곱합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

\left(2x\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

25x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 21x^{2}(을)를 구합니다.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

4과(와) 1을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

양쪽 모두에서 47을(를) 뺍니다.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

5에서 47을(를) 빼고 -42을(를) 구합니다.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

-20x과(와) -x을(를) 결합하여 -21x(을)를 구합니다.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

양쪽을 21(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x-2=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-2(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 해당하는 쌍은 시스템 해답이 유일합니다.

$$a=-2 b=1$$

x^{2}-x-2을(를) \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

인수분해 x^{2}-2x에서 x를 뽑아냅니다.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-2을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-2=0을 해결 하 고, x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(5x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 1을(를) 제곱합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

\left(2x\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

25x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 21x^{2}(을)를 구합니다.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

4과(와) 1을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

양쪽 모두에서 47을(를) 뺍니다.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

5에서 47을(를) 빼고 -42을(를) 구합니다.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

-20x과(와) -x을(를) 결합하여 -21x(을)를 구합니다.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 21을(를) a로, -21을(를) b로, -42을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

-21을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

-4에 21을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

-84에 -42을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

441을(를) 3528에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

3969의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

-21의 반대는 21입니다.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

2에 21을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{21±63}{42}을(를) 풉니다. 21을(를) 63에 추가합니다.

$$x=\frac{84}{42}$$

84을(를) 42(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{21±63}{42}을(를) 풉니다. 21에서 63을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{42}{42}$$

-42을(를) 42(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=2 x=-1$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(5x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 1을(를) 제곱합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

\left(2x\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

25x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 21x^{2}(을)를 구합니다.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

4과(와) 1을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

-20x과(와) -x을(를) 결합하여 -21x(을)를 구합니다.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

47에서 5을(를) 빼고 42을(를) 구합니다.

$$21x^{2}-21x=42$$

양쪽을 21(으)로 나눕니다.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

21(으)로 나누면 21(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

-21을(를) 21(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

42을(를) 21(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=2$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

2을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

인수 x^{2}-x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$x=2 x=-1$$