다음을 풀어보세요: (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(5x+7\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

양쪽 모두에서 16을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

49에서 16을(를) 빼고 33을(를) 구합니다.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 25x^{2}+ax+bx+33(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 825을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

이 해답은 합계 70이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=15 b=55$$

25x^{2}+70x+33을(를) \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

첫 번째 그룹 및 11에서 5x를 제한 합니다.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 5x+3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 5x+3=0을 해결 하 고, 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(5x+7\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

양쪽 모두에서 16을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

49에서 16을(를) 빼고 33을(를) 구합니다.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 25을(를) a로, 70을(를) b로, 33을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

70을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

-4에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

-100에 33을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

4900을(를) -3300에 추가합니다.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

1600의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

2에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-70±40}{50}을(를) 풉니다. -70을(를) 40에 추가합니다.

$$x=-\frac{30}{50}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-30}{50}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-70±40}{50}을(를) 풉니다. -70에서 40을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{110}{50}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-110}{50}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{11}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(5x+7\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

양쪽 모두에서 49을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

16에서 49을(를) 빼고 -33을(를) 구합니다.

$$25x^{2}+70x=-33$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

25(으)로 나누면 25(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

5을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{70}{25}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

x 항의 계수인 \frac{14}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{7}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{7}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{7}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{33}{25}을(를) \frac{49}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

인수 x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{5}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$