다음을 풀어보세요: (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0.266666667+0.249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0.266666667-0.249443826i$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(4x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 1을(를) 제곱합니다.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

16x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 15x^{2}(을)를 구합니다.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

1과(와) 1을(를) 더하여 2을(를) 구합니다.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 15을(를) a로, -8을(를) b로, 2을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-8을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

64을(를) -120에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

-56의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

-8의 반대는 8입니다.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

2에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}을(를) 풉니다. 8을(를) 2i\sqrt{14}에 추가합니다.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

8+2i\sqrt{14}을(를) 30(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}을(를) 풉니다. 8에서 2i\sqrt{14}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

8-2i\sqrt{14}을(를) 30(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(4x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 1을(를) 제곱합니다.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

16x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 15x^{2}(을)를 구합니다.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

-1에서 1을(를) 빼고 -2을(를) 구합니다.

$$15x^{2}-8x=-2$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15(으)로 나누면 15(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

x 항의 계수인 -\frac{8}{15}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{4}{15}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{4}{15}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{4}{15}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{2}{15}을(를) \frac{16}{225}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

인수 x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

수식의 양쪽에 \frac{4}{15}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$