다음을 풀어보세요: (4x+6)^2=2x+3

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1.375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4x+6\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

48x과(와) -2x을(를) 결합하여 46x(을)를 구합니다.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

36에서 3을(를) 빼고 33을(를) 구합니다.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 16x^{2}+ax+bx+33(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 528을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

이 해답은 합계 46이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=22 b=24$$

16x^{2}+46x+33을(를) \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

첫 번째 그룹 및 3에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 8x+11을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 8x+11=0을 해결 하 고, 2x+3=0.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4x+6\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

48x과(와) -2x을(를) 결합하여 46x(을)를 구합니다.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

36에서 3을(를) 빼고 33을(를) 구합니다.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 16을(를) a로, 46을(를) b로, 33을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

46을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

-4에 16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

-64에 33을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

2116을(를) -2112에 추가합니다.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

4의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

2에 16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-46±2}{32}을(를) 풉니다. -46을(를) 2에 추가합니다.

$$x=-\frac{44}{32}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-44}{32}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{11}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-46±2}{32}을(를) 풉니다. -46에서 2을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{48}{32}$$

16을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-48}{32}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4x+6\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

48x과(와) -2x을(를) 결합하여 46x(을)를 구합니다.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

양쪽 모두에서 36을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

3에서 36을(를) 빼고 -33을(를) 구합니다.

$$16x^{2}+46x=-33$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

16(으)로 나누면 16(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{46}{16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

x 항의 계수인 \frac{23}{8}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{23}{16}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{23}{16}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{23}{16}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{33}{16}을(를) \frac{529}{256}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

인수 x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

수식의 양쪽에서 \frac{23}{16}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$