다음을 풀어보세요: (4x+1)(4x+1)-(4x+1)(7x-6)=0

$$( 4 x + 1 ) ( 4 x + 1 ) - ( 4 x + 1 ) ( 7 x - 6 ) = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

4x+1과(와) 4x+1을(를) 곱하여 \left(4x+1\right)^{2}(을)를 구합니다.

$$\left(4x+1\right)^{2}-\left(4x+1\right)\left(7x-6\right)=0$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16x^{2}+8x+1-\left(4x+1\right)\left(7x-6\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 4x+1에 7x-6(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$16x^{2}+8x+1-\left(28x^{2}-17x-6\right)=0$$

28x^{2}-17x-6의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$16x^{2}+8x+1-28x^{2}+17x+6=0$$

16x^{2}과(와) -28x^{2}을(를) 결합하여 -12x^{2}(을)를 구합니다.

$$-12x^{2}+8x+1+17x+6=0$$

8x과(와) 17x을(를) 결합하여 25x(을)를 구합니다.

$$-12x^{2}+25x+1+6=0$$

1과(와) 6을(를) 더하여 7을(를) 구합니다.

$$-12x^{2}+25x+7=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -12x^{2}+ax+bx+7(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=25 ab=-12\times 7=-84$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -84을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

이 해답은 합계 25이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=28 b=-3$$

-12x^{2}+25x+7을(를) \left(-12x^{2}+28x\right)+\left(-3x+7\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-12x^{2}+28x\right)+\left(-3x+7\right)$$

첫 번째 그룹 및 -1에서 -4x를 제한 합니다.

$$-4x\left(3x-7\right)-\left(3x-7\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x-7을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x-7\right)\left(-4x-1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x-7=0을 해결 하 고, -4x-1=0.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{1}{4}$$

근의 공식을 사용한 단계

4x+1과(와) 4x+1을(를) 곱하여 \left(4x+1\right)^{2}(을)를 구합니다.

$$\left(4x+1\right)^{2}-\left(4x+1\right)\left(7x-6\right)=0$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16x^{2}+8x+1-\left(4x+1\right)\left(7x-6\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 4x+1에 7x-6(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$16x^{2}+8x+1-\left(28x^{2}-17x-6\right)=0$$

28x^{2}-17x-6의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$16x^{2}+8x+1-28x^{2}+17x+6=0$$

16x^{2}과(와) -28x^{2}을(를) 결합하여 -12x^{2}(을)를 구합니다.

$$-12x^{2}+8x+1+17x+6=0$$

8x과(와) 17x을(를) 결합하여 25x(을)를 구합니다.

$$-12x^{2}+25x+1+6=0$$

1과(와) 6을(를) 더하여 7을(를) 구합니다.

$$-12x^{2}+25x+7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -12을(를) a로, 25을(를) b로, 7을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\left(-12\right)\times 7}}{2\left(-12\right)}$$

25을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\left(-12\right)\times 7}}{2\left(-12\right)}$$

-4에 -12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+48\times 7}}{2\left(-12\right)}$$

48에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+336}}{2\left(-12\right)}$$

625을(를) 336에 추가합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{961}}{2\left(-12\right)}$$

961의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-25±31}{2\left(-12\right)}$$

2에 -12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-25±31}{-24}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-25±31}{-24}을(를) 풉니다. -25을(를) 31에 추가합니다.

$$x=\frac{6}{-24}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{6}{-24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-25±31}{-24}을(를) 풉니다. -25에서 31을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{56}{-24}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-56}{-24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{7}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{4} x=\frac{7}{3}$$

제곱 완성 단계

4x+1과(와) 4x+1을(를) 곱하여 \left(4x+1\right)^{2}(을)를 구합니다.

$$\left(4x+1\right)^{2}-\left(4x+1\right)\left(7x-6\right)=0$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16x^{2}+8x+1-\left(4x+1\right)\left(7x-6\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 4x+1에 7x-6(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$16x^{2}+8x+1-\left(28x^{2}-17x-6\right)=0$$

28x^{2}-17x-6의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$16x^{2}+8x+1-28x^{2}+17x+6=0$$

16x^{2}과(와) -28x^{2}을(를) 결합하여 -12x^{2}(을)를 구합니다.

$$-12x^{2}+8x+1+17x+6=0$$

8x과(와) 17x을(를) 결합하여 25x(을)를 구합니다.

$$-12x^{2}+25x+1+6=0$$

1과(와) 6을(를) 더하여 7을(를) 구합니다.

$$-12x^{2}+25x+7=0$$

양쪽 모두에서 7을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$-12x^{2}+25x=-7$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$\frac{-12x^{2}+25x}{-12}=-\frac{7}{-12}$$

-12(으)로 나누면 -12(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{25}{-12}x=-\frac{7}{-12}$$

25을(를) -12(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{25}{12}x=-\frac{7}{-12}$$

-7을(를) -12(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{25}{12}x=\frac{7}{12}$$

x 항의 계수인 -\frac{25}{12}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{25}{24}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{25}{24}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{25}{12}x+\left(-\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(-\frac{25}{24}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{25}{24}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{7}{12}+\frac{625}{576}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{12}을(를) \frac{625}{576}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{961}{576}$$

인수 x^{2}-\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{961}{576}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{576}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{25}{24}=\frac{31}{24} x-\frac{25}{24}=-\frac{31}{24}$$

수식의 양쪽에 \frac{25}{24}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{1}{4}$$