다음을 풀어보세요: (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

x에 대한 해

$$x=-18$$

$$x=6$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식의 양쪽 모두에 4을(를) 곱합니다.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

16과(와) 3을(를) 곱하여 48(을)를 구합니다.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

8 및 2에서 최대 공약수 2을(를) 약분합니다.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2}을(를) 제곱하려면 분자와 분모를 모두 제곱한 다음 나누세요.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

식을 더하거나 빼려면 해당 식의 분모를 동일하게 맞추세요. 48에 \frac{2^{2}}{2^{2}}을(를) 곱합니다.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} 및 \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}의 분모가 같으므로 분자를 더하여 이 둘을 더합니다.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

분배 법칙을 사용하여 4에 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}(을)를 곱합니다.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

48과(와) 4을(를) 곱하여 192(을)를 구합니다.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\left(x\sqrt{3}\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}을(를) 단일 분수로 표현합니다.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4과(와) 4을(를) 상쇄합니다.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

16과(와) 3을(를) 곱하여 48(을)를 구합니다.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

x^{2}\times 3과(와) x^{2}을(를) 결합하여 4x^{2}(을)를 구합니다.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

양쪽 모두에서 624을(를) 뺍니다.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

192에서 624을(를) 빼고 -432을(를) 구합니다.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$x^{2}+12x-108=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-108(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -108을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

이 해답은 합계 12이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-6 b=18$$

x^{2}+12x-108을(를) \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

첫 번째 그룹 및 18에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-6을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-6=0을 해결 하 고, x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

근의 공식을 사용한 단계

수식의 양쪽 모두에 4을(를) 곱합니다.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

16과(와) 3을(를) 곱하여 48(을)를 구합니다.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

8 및 2에서 최대 공약수 2을(를) 약분합니다.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2}을(를) 제곱하려면 분자와 분모를 모두 제곱한 다음 나누세요.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

식을 더하거나 빼려면 해당 식의 분모를 동일하게 맞추세요. 48에 \frac{2^{2}}{2^{2}}을(를) 곱합니다.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} 및 \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}의 분모가 같으므로 분자를 더하여 이 둘을 더합니다.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

분배 법칙을 사용하여 4에 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}(을)를 곱합니다.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

48과(와) 4을(를) 곱하여 192(을)를 구합니다.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\left(x\sqrt{3}\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}을(를) 단일 분수로 표현합니다.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4과(와) 4을(를) 상쇄합니다.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

16과(와) 3을(를) 곱하여 48(을)를 구합니다.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

x^{2}\times 3과(와) x^{2}을(를) 결합하여 4x^{2}(을)를 구합니다.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

양쪽 모두에서 624을(를) 뺍니다.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

192에서 624을(를) 빼고 -432을(를) 구합니다.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 48을(를) b로, -432을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

48을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -432을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

2304을(를) 6912에 추가합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

9216의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-48±96}{8}을(를) 풉니다. -48을(를) 96에 추가합니다.

$$x=\frac{48}{8}$$

48을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-48±96}{8}을(를) 풉니다. -48에서 96을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{144}{8}$$

-144을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=-18$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=6 x=-18$$

제곱 완성 단계

수식의 양쪽 모두에 4을(를) 곱합니다.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

16과(와) 3을(를) 곱하여 48(을)를 구합니다.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

8 및 2에서 최대 공약수 2을(를) 약분합니다.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2}을(를) 제곱하려면 분자와 분모를 모두 제곱한 다음 나누세요.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

식을 더하거나 빼려면 해당 식의 분모를 동일하게 맞추세요. 48에 \frac{2^{2}}{2^{2}}을(를) 곱합니다.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} 및 \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}의 분모가 같으므로 분자를 더하여 이 둘을 더합니다.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

분배 법칙을 사용하여 4에 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}(을)를 곱합니다.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

48과(와) 4을(를) 곱하여 192(을)를 구합니다.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\left(x\sqrt{3}\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}을(를) 단일 분수로 표현합니다.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4과(와) 4을(를) 상쇄합니다.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

16과(와) 3을(를) 곱하여 48(을)를 구합니다.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

x^{2}\times 3과(와) x^{2}을(를) 결합하여 4x^{2}(을)를 구합니다.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

양쪽 모두에서 192을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

624에서 192을(를) 빼고 432을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+48x=432$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

48을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

432을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+12x=108$$

x 항의 계수인 12을(를) 2(으)로 나눠서 6을(를) 구합니다. 그런 다음 6의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

108을(를) 36에 추가합니다.

$$x^{2}+12x+36=144$$

인수 x^{2}+12x+36. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

단순화합니다.

$$x+6=12 x+6=-12$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$x=6 x=-18$$