다음을 풀어보세요: (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

x에 대한 해

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(2x-3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+5\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

4x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-12x과(와) -10x을(를) 결합하여 -22x(을)를 구합니다.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

9에서 25을(를) 빼고 -16을(를) 구합니다.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

양쪽에 23을(를) 더합니다.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

-16과(와) 23을(를) 더하여 7을(를) 구합니다.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx+7(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 제품 21을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,-21 -3,-7$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

이 해답은 합계 -22이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-21 b=-1$$

3x^{2}-22x+7을(를) \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

첫 번째 그룹 및 -1에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-7을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-7=0을 해결 하 고, 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(2x-3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+5\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

4x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-12x과(와) -10x을(를) 결합하여 -22x(을)를 구합니다.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

9에서 25을(를) 빼고 -16을(를) 구합니다.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

양쪽에 23을(를) 더합니다.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

-16과(와) 23을(를) 더하여 7을(를) 구합니다.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -22을(를) b로, 7을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-22을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

484을(를) -84에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

400의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

-22의 반대는 22입니다.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{22±20}{6}을(를) 풉니다. 22을(를) 20에 추가합니다.

$$x=\frac{42}{6}$$

42을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{22±20}{6}을(를) 풉니다. 22에서 20을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{2}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(2x-3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+5\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

4x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-12x과(와) -10x을(를) 결합하여 -22x(을)를 구합니다.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

9에서 25을(를) 빼고 -16을(를) 구합니다.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

양쪽에 16을(를) 더합니다.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

-23과(와) 16을(를) 더하여 -7을(를) 구합니다.

$$3x^{2}-22x=-7$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{22}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{11}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{11}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{11}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{3}을(를) \frac{121}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{11}{3}을(를) 더합니다.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$