다음을 풀어보세요: (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

해답 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+4\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(3x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

9x^{2}-12x+4의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

-9x^{2}과(와) -40x^{2}을(를) 결합하여 -49x^{2}(을)를 구합니다.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

양쪽에 205을(를) 더합니다.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

-4과(와) 205을(를) 더하여 201을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

분배 법칙을 사용하여 -5x에 7-3x(을)를 곱합니다.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

분배 법칙을 사용하여 -35x+15x^{2}에 7+3x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

16x과(와) -245x을(를) 결합하여 -229x(을)를 구합니다.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

4x^{2}과(와) -49x^{2}을(를) 결합하여 -45x^{2}(을)를 구합니다.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

-229x과(와) 12x을(를) 결합하여 -217x(을)를 구합니다.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

16과(와) 201을(를) 더하여 217을(를) 구합니다.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

수식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

이항 모든 유리 루트는 p 217 상수 항을 나누고 q 선행 계수 45을 분할 하는 형식 \frac{p}{q}에 있습니다. \frac{p}{q} 모든 후보를 나열하세요.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

절대값으로 가장 작은 정수 값부터 모두 시도하여 해당 루트를 찾습니다. 정수 루트를 찾을 수 없는 경우 분수를 시도하세요.

$$x=1$$

인수정리를 통해 x-k은(는) 각 루트 k에 대한 다항식의 한 인수입니다. 45x^{3}-45x^{2}-217x+217을(를) x-1(으)로 나눠서 45x^{2}-217을(를) 구합니다. 결과가 0와 같은 수식을 계산 합니다.

$$45x^{2}-217=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 45(으)로, b을(를) 0(으)로, c을(를) -217(으)로 대체합니다.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

계산을 합니다.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 45x^{2}-217=0 수식의 해를 찾습니다.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

찾은 솔루션을 모두 나열합니다.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$