다음을 풀어보세요: (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

x에 대한 해

$$x=-7$$

$$x=4$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

분배 법칙을 사용하여 2x+3에 x^{2}-16(을)를 곱합니다.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-4에 x+40(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

3x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 4x^{2}(을)를 구합니다.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-32x과(와) 36x을(를) 결합하여 4x(을)를 구합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-48에서 160을(를) 빼고 -208을(를) 구합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 2에 x-4(을)를 곱합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 2x-8에 x^{2}-16(을)를 곱합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

양쪽 모두에서 2x^{3}을(를) 뺍니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

2x^{3}과(와) -2x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

양쪽에 32x을(를) 더합니다.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

4x과(와) 32x을(를) 결합하여 36x(을)를 구합니다.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

양쪽에 8x^{2}을(를) 더합니다.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

4x^{2}과(와) 8x^{2}을(를) 결합하여 12x^{2}(을)를 구합니다.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

양쪽 모두에서 128을(를) 뺍니다.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

-208에서 128을(를) 빼고 -336을(를) 구합니다.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$3x+x^{2}-28=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$x^{2}+3x-28=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-28(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -28을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

이 해답은 합계 3이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28을(를) \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

첫 번째 그룹 및 7에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-4을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-4=0을 해결 하 고, x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 2x+3에 x^{2}-16(을)를 곱합니다.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-4에 x+40(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

3x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 4x^{2}(을)를 구합니다.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-32x과(와) 36x을(를) 결합하여 4x(을)를 구합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-48에서 160을(를) 빼고 -208을(를) 구합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 2에 x-4(을)를 곱합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 2x-8에 x^{2}-16(을)를 곱합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

양쪽 모두에서 2x^{3}을(를) 뺍니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

2x^{3}과(와) -2x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

양쪽에 32x을(를) 더합니다.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

4x과(와) 32x을(를) 결합하여 36x(을)를 구합니다.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

양쪽에 8x^{2}을(를) 더합니다.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

4x^{2}과(와) 8x^{2}을(를) 결합하여 12x^{2}(을)를 구합니다.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

양쪽 모두에서 128을(를) 뺍니다.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

-208에서 128을(를) 빼고 -336을(를) 구합니다.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 12을(를) a로, 36을(를) b로, -336을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

36을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-4에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-48에 -336을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

1296을(를) 16128에 추가합니다.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

17424의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

2에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-36±132}{24}을(를) 풉니다. -36을(를) 132에 추가합니다.

$$x=\frac{96}{24}$$

96을(를) 24(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-36±132}{24}을(를) 풉니다. -36에서 132을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{168}{24}$$

-168을(를) 24(으)로 나눕니다.

$$x=-7$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=4 x=-7$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 2x+3에 x^{2}-16(을)를 곱합니다.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-4에 x+40(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

3x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 4x^{2}(을)를 구합니다.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-32x과(와) 36x을(를) 결합하여 4x(을)를 구합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-48에서 160을(를) 빼고 -208을(를) 구합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 2에 x-4(을)를 곱합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 2x-8에 x^{2}-16(을)를 곱합니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

양쪽 모두에서 2x^{3}을(를) 뺍니다.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

2x^{3}과(와) -2x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

양쪽에 32x을(를) 더합니다.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

4x과(와) 32x을(를) 결합하여 36x(을)를 구합니다.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

양쪽에 8x^{2}을(를) 더합니다.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

4x^{2}과(와) 8x^{2}을(를) 결합하여 12x^{2}(을)를 구합니다.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

양쪽에 208을(를) 더합니다.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

128과(와) 208을(를) 더하여 336을(를) 구합니다.

$$36x+12x^{2}=336$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$12x^{2}+36x=336$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

12(으)로 나누면 12(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

36을(를) 12(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

336을(를) 12(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=28$$

x 항의 계수인 3을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

28을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

인수 x^{2}+3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=4 x=-7$$