다음을 풀어보세요: (2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

x에 대한 해

$$x=-9$$

$$x=7$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

15의 2제곱을 계산하여 225을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

9에서 225을(를) 빼고 -216을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

10의 2제곱을 계산하여 100을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

x^{2}-2x+1의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

100에서 1을(를) 빼고 99을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

양쪽 모두에서 99을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

-216에서 99을(를) 빼고 -315을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

양쪽에 x^{2}을(를) 더합니다.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

4x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

12x과(와) -2x을(를) 결합하여 10x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+2x-63=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-63(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -63을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

이 해답은 합계 2이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-7 b=9$$

x^{2}+2x-63을(를) \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

첫 번째 그룹 및 9에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-7을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-7=0을 해결 하 고, x+9=0.

$$x=7 x=-9$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

15의 2제곱을 계산하여 225을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

9에서 225을(를) 빼고 -216을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

10의 2제곱을 계산하여 100을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

x^{2}-2x+1의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

100에서 1을(를) 빼고 99을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

양쪽 모두에서 99을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

-216에서 99을(를) 빼고 -315을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

양쪽에 x^{2}을(를) 더합니다.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

4x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

12x과(와) -2x을(를) 결합하여 10x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, 10을(를) b로, -315을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -315을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

100을(를) 6300에 추가합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

6400의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-10±80}{10}을(를) 풉니다. -10을(를) 80에 추가합니다.

$$x=\frac{70}{10}$$

70을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-10±80}{10}을(를) 풉니다. -10에서 80을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{90}{10}$$

-90을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=-9$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=7 x=-9$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

15의 2제곱을 계산하여 225을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

9에서 225을(를) 빼고 -216을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

10의 2제곱을 계산하여 100을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

x^{2}-2x+1의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

100에서 1을(를) 빼고 99을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

양쪽에 x^{2}을(를) 더합니다.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

4x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

12x과(와) -2x을(를) 결합하여 10x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

양쪽에 216을(를) 더합니다.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

99과(와) 216을(를) 더하여 315을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+10x=315$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

10을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

315을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+2x=63$$

x 항의 계수인 2을(를) 2(으)로 나눠서 1을(를) 구합니다. 그런 다음 1의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

1을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

63을(를) 1에 추가합니다.

$$x^{2}+2x+1=64$$

인수 x^{2}+2x+1. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

단순화합니다.

$$x+1=8 x+1=-8$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$x=7 x=-9$$