다음을 풀어보세요: (2x+1)^2=1+(x-1)(x+1)

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=-1$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 1을(를) 제곱합니다.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

1에서 1을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

4x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx+1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 해당하는 쌍은 시스템 해답이 유일합니다.

$$a=1 b=3$$

3x^{2}+4x+1을(를) \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

인수분해 3x^{2}+x에서 x를 뽑아냅니다.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x+1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x+1=0을 해결 하 고, x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 1을(를) 제곱합니다.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

1에서 1을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

4x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 4을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

16을(를) -12에 추가합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

4의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-4±2}{6}을(를) 풉니다. -4을(를) 2에 추가합니다.

$$x=-\frac{2}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-2}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-4±2}{6}을(를) 풉니다. -4에서 2을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{6}{6}$$

-6을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 1을(를) 제곱합니다.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

1에서 1을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

4x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 3x^{2}(을)를 구합니다.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$3x^{2}+4x=-1$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{4}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{2}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{2}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{2}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{3}을(를) \frac{4}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

인수 x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$