다음을 풀어보세요: (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

x에 대한 해

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33.333333333$$

$$x=-100$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

100의 2제곱을 계산하여 10000을(를) 구합니다.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+100\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

10000과(와) 10000을(를) 더하여 20000을(를) 구합니다.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+100\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 -3x^{2}(을)를 구합니다.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

양쪽 모두에서 400x을(를) 뺍니다.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

200x과(와) -400x을(를) 결합하여 -200x(을)를 구합니다.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

양쪽 모두에서 10000을(를) 뺍니다.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

20000에서 10000을(를) 빼고 10000을(를) 구합니다.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -3x^{2}+ax+bx+10000(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -30000을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

이 해답은 합계 -200이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=100 b=-300$$

-3x^{2}-200x+10000을(를) \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

첫 번째 그룹 및 -100에서 -x를 제한 합니다.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x-100을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x-100=0을 해결 하 고, -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

근의 공식을 사용한 단계

100의 2제곱을 계산하여 10000을(를) 구합니다.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+100\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

10000과(와) 10000을(를) 더하여 20000을(를) 구합니다.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+100\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 -3x^{2}(을)를 구합니다.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

양쪽 모두에서 400x을(를) 뺍니다.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

200x과(와) -400x을(를) 결합하여 -200x(을)를 구합니다.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

양쪽 모두에서 10000을(를) 뺍니다.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

20000에서 10000을(를) 빼고 10000을(를) 구합니다.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, -200을(를) b로, 10000을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

-200을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

12에 10000을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

40000을(를) 120000에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

160000의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

-200의 반대는 200입니다.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{200±400}{-6}을(를) 풉니다. 200을(를) 400에 추가합니다.

$$x=\frac{600}{-6}$$

600을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=-100$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{200±400}{-6}을(를) 풉니다. 200에서 400을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-200}{-6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{100}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

제곱 완성 단계

100의 2제곱을 계산하여 10000을(를) 구합니다.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+100\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

10000과(와) 10000을(를) 더하여 20000을(를) 구합니다.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+100\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 -3x^{2}(을)를 구합니다.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

양쪽 모두에서 400x을(를) 뺍니다.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

200x과(와) -400x을(를) 결합하여 -200x(을)를 구합니다.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

양쪽 모두에서 20000을(를) 뺍니다.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

10000에서 20000을(를) 빼고 -10000을(를) 구합니다.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

-200을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

-10000을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{200}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{100}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{100}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{100}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{10000}{3}을(를) \frac{10000}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

인수 x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{100}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$