다음을 풀어보세요: (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24.4375-5.273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24.4375+5.273385416i$$

근의 공식을 사용한 단계

\frac{6}{25+x}을(를) 제곱하려면 분자와 분모를 모두 제곱한 다음 나누세요.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x을(를) 단일 분수로 표현합니다.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

6의 2제곱을 계산하여 36을(를) 구합니다.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(25+x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

양쪽 모두에서 32을(를) 뺍니다.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

625+50x+x^{2}을(를) 인수 분해합니다.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

식을 더하거나 빼려면 해당 식의 분모를 동일하게 맞추세요. 32에 \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}을(를) 곱합니다.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} 및 \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}의 분모가 같으므로 분자를 빼서 이 둘을 뺍니다.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

36x-32\left(x+25\right)^{2}에서 곱하기를 합니다.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

36x-32x^{2}-1600x-20000의 동류항을 결합합니다.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 -25과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 \left(x+25\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -32을(를) a로, -1564을(를) b로, -20000을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

-1564을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

-4에 -32을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

128에 -20000을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

2446096을(를) -2560000에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

-113904의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

-1564의 반대는 1564입니다.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

2에 -32을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}을(를) 풉니다. 1564을(를) 12i\sqrt{791}에 추가합니다.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

1564+12i\sqrt{791}을(를) -64(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}을(를) 풉니다. 1564에서 12i\sqrt{791}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

1564-12i\sqrt{791}을(를) -64(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

제곱 완성 단계

\frac{6}{25+x}을(를) 제곱하려면 분자와 분모를 모두 제곱한 다음 나누세요.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x을(를) 단일 분수로 표현합니다.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

6의 2제곱을 계산하여 36을(를) 구합니다.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(25+x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 -25과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 \left(x+25\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+25\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

분배 법칙을 사용하여 32에 x^{2}+50x+625(을)를 곱합니다.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

양쪽 모두에서 32x^{2}을(를) 뺍니다.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

양쪽 모두에서 1600x을(를) 뺍니다.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

36x과(와) -1600x을(를) 결합하여 -1564x(을)를 구합니다.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

양쪽을 -32(으)로 나눕니다.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

-32(으)로 나누면 -32(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-1564}{-32}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

20000을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

x 항의 계수인 \frac{391}{8}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{391}{16}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{391}{16}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{391}{16}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

-625을(를) \frac{152881}{256}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

인수 x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

수식의 양쪽에서 \frac{391}{16}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$