다음을 풀어보세요: (12/5sqrt{3}x)^2+2x+1=0

$$( \frac { 12 } { 5 } \sqrt { 3 } x ) ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-25+5\sqrt{407}i}{432}\approx -0.05787037+0.23349816i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{407}i-25}{432}\approx -0.05787037-0.23349816i$$

근의 공식을 사용한 단계

\left(\frac{12}{5}\sqrt{3}x\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$\left(\frac{12}{5}\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}x^{2}+2x+1=0$$

\frac{12}{5}의 2제곱을 계산하여 \frac{144}{25}을(를) 구합니다.

$$\frac{144}{25}\left(\sqrt{3}\right)^{2}x^{2}+2x+1=0$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$\frac{144}{25}\times 3x^{2}+2x+1=0$$

\frac{144}{25}과(와) 3을(를) 곱하여 \frac{432}{25}(을)를 구합니다.

$$\frac{432}{25}x^{2}+2x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 \frac{432}{25}을(를) a로, 2을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times \frac{432}{25}}}{2\times \frac{432}{25}}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times \frac{432}{25}}}{2\times \frac{432}{25}}$$

-4에 \frac{432}{25}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-\frac{1728}{25}}}{2\times \frac{432}{25}}$$

4을(를) -\frac{1728}{25}에 추가합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-\frac{1628}{25}}}{2\times \frac{432}{25}}$$

-\frac{1628}{25}의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-2±\frac{2\sqrt{407}i}{5}}{2\times \frac{432}{25}}$$

2에 \frac{432}{25}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\frac{2\sqrt{407}i}{5}}{\frac{864}{25}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-2±\frac{2\sqrt{407}i}{5}}{\frac{864}{25}}을(를) 풉니다. -2을(를) \frac{2i\sqrt{407}}{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{407}i}{5}-2}{\frac{864}{25}}$$

-2+\frac{2i\sqrt{407}}{5}에 \frac{864}{25}의 역수를 곱하여 -2+\frac{2i\sqrt{407}}{5}을(를) \frac{864}{25}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-25+5\sqrt{407}i}{432}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-2±\frac{2\sqrt{407}i}{5}}{\frac{864}{25}}을(를) 풉니다. -2에서 \frac{2i\sqrt{407}}{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{407}i}{5}-2}{\frac{864}{25}}$$

-2-\frac{2i\sqrt{407}}{5}에 \frac{864}{25}의 역수를 곱하여 -2-\frac{2i\sqrt{407}}{5}을(를) \frac{864}{25}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-5\sqrt{407}i-25}{432}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-25+5\sqrt{407}i}{432} x=\frac{-5\sqrt{407}i-25}{432}$$

제곱 완성 단계

\left(\frac{12}{5}\sqrt{3}x\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$\left(\frac{12}{5}\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}x^{2}+2x+1=0$$

\frac{12}{5}의 2제곱을 계산하여 \frac{144}{25}을(를) 구합니다.

$$\frac{144}{25}\left(\sqrt{3}\right)^{2}x^{2}+2x+1=0$$

\sqrt{3}의 제곱은 3입니다.

$$\frac{144}{25}\times 3x^{2}+2x+1=0$$

\frac{144}{25}과(와) 3을(를) 곱하여 \frac{432}{25}(을)를 구합니다.

$$\frac{432}{25}x^{2}+2x+1=0$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$\frac{432}{25}x^{2}+2x=-1$$

수식의 양쪽을 \frac{432}{25}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$\frac{\frac{432}{25}x^{2}+2x}{\frac{432}{25}}=-\frac{1}{\frac{432}{25}}$$

\frac{432}{25}(으)로 나누면 \frac{432}{25}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{2}{\frac{432}{25}}x=-\frac{1}{\frac{432}{25}}$$

2에 \frac{432}{25}의 역수를 곱하여 2을(를) \frac{432}{25}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{25}{216}x=-\frac{1}{\frac{432}{25}}$$

-1에 \frac{432}{25}의 역수를 곱하여 -1을(를) \frac{432}{25}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{25}{216}x=-\frac{25}{432}$$

x 항의 계수인 \frac{25}{216}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{25}{432}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{25}{432}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{25}{216}x+\left(\frac{25}{432}\right)^{2}=-\frac{25}{432}+\left(\frac{25}{432}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{25}{432}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{25}{216}x+\frac{625}{186624}=-\frac{25}{432}+\frac{625}{186624}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{25}{432}을(를) \frac{625}{186624}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{25}{216}x+\frac{625}{186624}=-\frac{10175}{186624}$$

인수 x^{2}+\frac{25}{216}x+\frac{625}{186624}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{25}{432}\right)^{2}=-\frac{10175}{186624}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{432}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{10175}{186624}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{25}{432}=\frac{5\sqrt{407}i}{432} x+\frac{25}{432}=-\frac{5\sqrt{407}i}{432}$$

수식의 양쪽에서 \frac{25}{432}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-25+5\sqrt{407}i}{432} x=\frac{-5\sqrt{407}i-25}{432}$$