다음을 풀어보세요: y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

y에 대한 해

$$y=6$$

$$y=9$$

인수 분해 사용 단계

양쪽에 54을(를) 더합니다.

$$y^{2}-15y+54=0$$

방정식을 계산 하려면 수식 y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right)을 사용 하 y^{2}-15y+54. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-15 ab=54$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 제품 54을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

이 해답은 합계 -15이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-9 b=-6$$

가져온 값을 사용하여 인수 분해식 \left(y+a\right)\left(y+b\right)을(를) 다시 작성하세요.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 y-9=0을 해결 하 고, y-6=0.

$$y=9 y=6$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽에 54을(를) 더합니다.

$$y^{2}-15y+54=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 y^{2}+ay+by+54(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 제품 54을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

이 해답은 합계 -15이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-9 b=-6$$

y^{2}-15y+54을(를) \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

첫 번째 그룹 및 -6에서 y를 제한 합니다.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 y-9을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 y-9=0을 해결 하 고, y-6=0.

$$y=9 y=6$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$y^{2}-15y=-54$$

수식의 양쪽에 54을(를) 더합니다.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

자신에서 -54을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

0에서 -54을(를) 뺍니다.

$$y^{2}-15y+54=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -15을(를) b로, 54을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

-15을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

-4에 54을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

225을(를) -216에 추가합니다.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9의 제곱근을 구합니다.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15의 반대는 15입니다.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{15±3}{2}을(를) 풉니다. 15을(를) 3에 추가합니다.

$$y=\frac{18}{2}$$

18을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$y=9$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{15±3}{2}을(를) 풉니다. 15에서 3을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{12}{2}$$

12을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$y=9 y=6$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$y^{2}-15y=-54$$

x 항의 계수인 -15을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{15}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{15}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{15}{2}을(를) 제곱합니다.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

-54을(를) \frac{225}{4}에 추가합니다.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

인수 y^{2}-15y+\frac{225}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

단순화합니다.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{15}{2}을(를) 더합니다.

$$y=9 y=6$$