다음을 풀어보세요: x^6=((6x^3)-5^3)

$${ x }^{ 6 } =((6 { x }^{ 3 } )- { 5 }^{ 3 } )$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x\in \sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$

근의 공식을 사용한 단계

5의 3제곱을 계산하여 125을(를) 구합니다.

$$x^{6}=6x^{3}-125$$

양쪽 모두에서 6x^{3}을(를) 뺍니다.

$$x^{6}-6x^{3}=-125$$

양쪽에 125을(를) 더합니다.

$$x^{6}-6x^{3}+125=0$$

x^{3}에 대한 대체 t입니다.

$$t^{2}-6t+125=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 1(으)로, b을(를) -6(으)로, c을(를) 125(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 125}}{2}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=3+2\sqrt{29}i t=-2\sqrt{29}i+3$$

x=t^{3} 이후, 각 t에 대한 수식을 계산하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$