다음을 풀어보세요: x^3+1/x^3=3

$${ x }^{ 3 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } } =3$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x\in \frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 x^{3}을(를) 곱합니다.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

같은 기수의 제곱을 곱하려면 해당 지수를 더합니다. 3과(와) 3을(를) 더하여 6을(를) 구합니다.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

양쪽 모두에서 3x^{3}을(를) 뺍니다.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

x^{3}에 대한 대체 t입니다.

$$t^{2}-3t+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 1(으)로, b을(를) -3(으)로, c을(를) 1(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{3±\sqrt{5}}{2} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

x=t^{3} 이후, 각 t에 대한 수식을 계산하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$

x 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다.

$$x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}\approx 0.72556263$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\sqrt{5} + 3}}{2} \approx 1.378240772$$

근의 공식을 사용한 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 x^{3}을(를) 곱합니다.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

같은 기수의 제곱을 곱하려면 해당 지수를 더합니다. 3과(와) 3을(를) 더하여 6을(를) 구합니다.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

양쪽 모두에서 3x^{3}을(를) 뺍니다.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

x^{3}에 대한 대체 t입니다.

$$t^{2}-3t+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 1(으)로, b을(를) -3(으)로, c을(를) 1(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{3±\sqrt{5}}{2} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

x=t^{3} 후에는 각 t에 대한 x=\sqrt[3]{t}을(를) 평가하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$