다음을 풀어보세요: x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

x에 대한 해

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

근의 공식을 사용한 단계

부등식의 해를 구하려면 왼쪽을 인수 분해합니다. 이차 다항식은 변환 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 인수 분해할 수 있습니다, 여기서 x_{1} 및 x_{2}는 이차방정식 ax^{2}+bx+c=0의 해답입니다.

$$x^{2}-x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 1(으)로, b을(를) -1(으)로, c을(를) -1(으)로 대체합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

계산을 합니다.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} 수식의 해를 찾습니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

얻은 해답을 사용하여 부등식을 다시 작성합니다.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

곱이 양수가 되려면 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} 및 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}이(가) 모두 음수이거나 모두 양수여야 합니다. x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} 및 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}이(가) 모두 음수인 경우를 고려합니다.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

두 부등식 모두를 만족하는 해답은 x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}입니다.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} 및 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}이(가) 모두 양수인 경우를 고려합니다.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

두 부등식 모두를 만족하는 해답은 x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}입니다.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

최종 해답은 얻은 해의 합입니다.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$