다음을 풀어보세요: x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}-6x+11=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -6을(를) b로, 11을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

-6을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

-4에 11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

36을(를) -44에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

-8의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

-6의 반대는 6입니다.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}을(를) 풉니다. 6을(를) 2i\sqrt{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

6+2i\sqrt{2}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}을(를) 풉니다. 6에서 2i\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

6-2i\sqrt{2}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}-6x+11=0$$

수식의 양쪽에서 11을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

자신에서 11을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}-6x=-11$$

x 항의 계수인 -6을(를) 2(으)로 나눠서 -3을(를) 구합니다. 그런 다음 -3의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

-3을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

-11을(를) 9에 추가합니다.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

x^{2}-6x+9을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

단순화합니다.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$