다음을 풀어보세요: x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

x에 대한 해

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

근의 공식을 사용한 단계

부등식의 해를 구하려면 왼쪽을 인수 분해합니다. 이차 다항식은 변환 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 인수 분해할 수 있습니다, 여기서 x_{1} 및 x_{2}는 이차방정식 ax^{2}+bx+c=0의 해답입니다.

$$x^{2}-3x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 1(으)로, b을(를) -3(으)로, c을(를) 1(으)로 대체합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

계산을 합니다.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} 수식의 해를 찾습니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

얻은 해답을 사용하여 부등식을 다시 작성합니다.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

곱이 음수가 되려면 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} 및 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}이(가) 반대 부호여야 합니다. x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}이(가) 양수이고 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}이(가) 음수인 경우를 고려합니다.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

모든 x에 거짓입니다.

$$x\in \emptyset$$

x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}이(가) 양수이고 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}이(가) 음수인 경우를 고려합니다.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

두 부등식 모두를 만족하는 해답은 x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)입니다.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

최종 해답은 얻은 해의 합입니다.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$