다음을 풀어보세요: x^2+3x-65=10

$${ x }^{ 2 } +3x-65=10$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{309} - 3}{2} \approx 7.289197916$$

$$x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}\approx -10.289197916$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}+3x-65=10$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$x^{2}+3x-65-10=10-10$$

자신에서 10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}+3x-65-10=0$$

-65에서 10을(를) 뺍니다.

$$x^{2}+3x-75=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, 3을(를) b로, -75을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-75\right)}}{2}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-75\right)}}{2}$$

-4에 -75을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+300}}{2}$$

9을(를) 300에 추가합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}을(를) 풉니다. -3을(를) \sqrt{309}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}을(를) 풉니다. -3에서 \sqrt{309}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}+3x-65=10$$

수식의 양쪽에 65을(를) 더합니다.

$$x^{2}+3x-65-\left(-65\right)=10-\left(-65\right)$$

자신에서 -65을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}+3x=10-\left(-65\right)$$

10에서 -65을(를) 뺍니다.

$$x^{2}+3x=75$$

x 항의 계수인 3을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=75+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=75+\frac{9}{4}$$

75을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{309}{4}$$

인수 x^{2}+3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{309}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{309}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{309}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{309}}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$