다음을 풀어보세요: left(x-1right)^2-4(x^2-1)=0

$${ \left(x-1 \right) }^{ 2 } -4( { x }^{ 2 } -1)=0$$

x에 대한 해

$$x=1$$

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1-4\left(x^{2}-1\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 -4에 x^{2}-1(을)를 곱합니다.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}+4=0$$

x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 -3x^{2}(을)를 구합니다.

$$-3x^{2}-2x+1+4=0$$

1과(와) 4을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -3x^{2}+ax+bx+5(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-2 ab=-3\times 5=-15$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -15을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-15 3,-5$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

이 해답은 합계 -2이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=3 b=-5$$

-3x^{2}-2x+5을(를) \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 -x+1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 -x+1=0을 해결 하 고, 3x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1-4\left(x^{2}-1\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 -4에 x^{2}-1(을)를 곱합니다.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}+4=0$$

x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 -3x^{2}(을)를 구합니다.

$$-3x^{2}-2x+1+4=0$$

1과(와) 4을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, -2을(를) b로, 5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

12에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\left(-3\right)}$$

4을(를) 60에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

64의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\left(-3\right)}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$x=\frac{2±8}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2±8}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2±8}{-6}을(를) 풉니다. 2을(를) 8에 추가합니다.

$$x=\frac{10}{-6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{10}{-6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2±8}{-6}을(를) 풉니다. 2에서 8을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

-6을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{3} x=1$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1-4\left(x^{2}-1\right)=0$$

분배 법칙을 사용하여 -4에 x^{2}-1(을)를 곱합니다.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}+4=0$$

x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 -3x^{2}(을)를 구합니다.

$$-3x^{2}-2x+1+4=0$$

1과(와) 4을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$-3x^{2}-2x=-5$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}-2x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)x=-\frac{5}{-3}$$

-2을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

-5을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{2}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) \frac{1}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

인수 x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$