다음을 풀어보세요: left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

x에 대한 해

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19.95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1.95445115$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+14\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+11\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}+22x+121의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

28x과(와) -22x을(를) 결합하여 6x(을)를 구합니다.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

196에서 121을(를) 빼고 75을(를) 구합니다.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-6\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

양쪽에 12x을(를) 더합니다.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

6x과(와) 12x을(를) 결합하여 18x(을)를 구합니다.

$$18x+75-x^{2}=36$$

양쪽 모두에서 36을(를) 뺍니다.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

75에서 36을(를) 빼고 39을(를) 구합니다.

$$18x+39-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 18을(를) b로, 39을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

18을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

4에 39을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

324을(를) 156에 추가합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

480의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}을(를) 풉니다. -18을(를) 4\sqrt{30}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18+4\sqrt{30}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}을(를) 풉니다. -18에서 4\sqrt{30}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18-4\sqrt{30}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+14\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+11\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}+22x+121의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

28x과(와) -22x을(를) 결합하여 6x(을)를 구합니다.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

196에서 121을(를) 빼고 75을(를) 구합니다.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-6\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

양쪽에 12x을(를) 더합니다.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

6x과(와) 12x을(를) 결합하여 18x(을)를 구합니다.

$$18x+75-x^{2}=36$$

양쪽 모두에서 75을(를) 뺍니다.

$$18x-x^{2}=36-75$$

36에서 75을(를) 빼고 -39을(를) 구합니다.

$$18x-x^{2}=-39$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}+18x=-39$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

18을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

-39을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-18x=39$$

x 항의 계수인 -18을(를) 2(으)로 나눠서 -9을(를) 구합니다. 그런 다음 -9의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

-9을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

39을(를) 81에 추가합니다.

$$x^{2}-18x+81=120$$

x^{2}-18x+81을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

단순화합니다.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$