다음을 풀어보세요: left(2x-3right)^2=49

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } =49$$

x에 대한 해

$$x=5$$

$$x=-2$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(2x-3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

양쪽 모두에서 49을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

9에서 49을(를) 빼고 -40을(를) 구합니다.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-3x-10=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-10(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -10을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-10 2,-5$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

이 해답은 합계 -3이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-5 b=2$$

x^{2}-3x-10을(를) \left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right)$$

첫 번째 그룹 및 2에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-5=0을 해결 하 고, x+2=0.

$$x=5 x=-2$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(2x-3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

양쪽 모두에서 49을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

9에서 49을(를) 빼고 -40을(를) 구합니다.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, -12을(를) b로, -40을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

-12을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -40을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+640}}{2\times 4}$$

144을(를) 640에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

784의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±28}{2\times 4}$$

-12의 반대는 12입니다.

$$x=\frac{12±28}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{12±28}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{12±28}{8}을(를) 풉니다. 12을(를) 28에 추가합니다.

$$x=\frac{40}{8}$$

40을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{12±28}{8}을(를) 풉니다. 12에서 28을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{16}{8}$$

-16을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=5 x=-2$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(2x-3\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

양쪽 모두에서 9을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}-12x=49-9$$

49에서 9을(를) 빼고 40을(를) 구합니다.

$$4x^{2}-12x=40$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{40}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{40}{4}$$

-12을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-3x=\frac{40}{4}$$

40을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-3x=10$$

x 항의 계수인 -3을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

10을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

인수 x^{2}-3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{2}을(를) 더합니다.

$$x=5 x=-2$$