다음을 풀어보세요: left(12x+7right)^2(3x+2)(2x+1)=3

$${ \left(12x+7 \right) }^{ 2 } (3x+2)(2x+1)=3$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}\approx -0.583333333-0.23570226i$$

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}\approx -0.583333333+0.23570226i$$

해답 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(12x+7\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\left(144x^{2}+168x+49\right)\left(3x+2\right)\left(2x+1\right)=3$$

분배 법칙을 사용하여 144x^{2}+168x+49에 3x+2(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$\left(432x^{3}+792x^{2}+483x+98\right)\left(2x+1\right)=3$$

분배 법칙을 사용하여 432x^{3}+792x^{2}+483x+98에 2x+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98=3$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98-3=0$$

98에서 3을(를) 빼고 95을(를) 구합니다.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95=0$$

이항 모든 유리 루트는 p 95 상수 항을 나누고 q 선행 계수 864을 분할 하는 형식 \frac{p}{q}에 있습니다. \frac{p}{q} 모든 후보를 나열하세요.

$$±\frac{95}{864},±\frac{95}{432},±\frac{95}{288},±\frac{95}{216},±\frac{95}{144},±\frac{95}{108},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{54},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{27},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{864},±\frac{19}{432},±\frac{19}{288},±\frac{19}{216},±\frac{19}{144},±\frac{19}{108},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{54},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{27},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{864},±\frac{5}{432},±\frac{5}{288},±\frac{5}{216},±\frac{5}{144},±\frac{5}{108},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{54},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{27},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{864},±\frac{1}{432},±\frac{1}{288},±\frac{1}{216},±\frac{1}{144},±\frac{1}{108},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

절대값으로 가장 작은 정수 값부터 모두 시도하여 해당 루트를 찾습니다. 정수 루트를 찾을 수 없는 경우 분수를 시도하세요.

$$x=-\frac{1}{3}$$

인수정리를 통해 x-k은(는) 각 루트 k에 대한 다항식의 한 인수입니다. 864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95을(를) 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1(으)로 나눠서 288x^{3}+576x^{2}+394x+95을(를) 구합니다. 결과가 0와 같은 수식을 계산 합니다.

$$288x^{3}+576x^{2}+394x+95=0$$

이항 모든 유리 루트는 p 95 상수 항을 나누고 q 선행 계수 288을 분할 하는 형식 \frac{p}{q}에 있습니다. \frac{p}{q} 모든 후보를 나열하세요.

$$±\frac{95}{288},±\frac{95}{144},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{288},±\frac{19}{144},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{288},±\frac{5}{144},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{288},±\frac{1}{144},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

절대값으로 가장 작은 정수 값부터 모두 시도하여 해당 루트를 찾습니다. 정수 루트를 찾을 수 없는 경우 분수를 시도하세요.

$$x=-\frac{5}{6}$$

인수정리를 통해 x-k은(는) 각 루트 k에 대한 다항식의 한 인수입니다. 288x^{3}+576x^{2}+394x+95을(를) 6\left(x+\frac{5}{6}\right)=6x+5(으)로 나눠서 48x^{2}+56x+19을(를) 구합니다. 결과가 0와 같은 수식을 계산 합니다.

$$48x^{2}+56x+19=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 48(으)로, b을(를) 56(으)로, c을(를) 19(으)로 대체합니다.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\times 48\times 19}}{2\times 48}$$

계산을 합니다.

$$x=\frac{-56±\sqrt{-512}}{96}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 48x^{2}+56x+19=0 수식의 해를 찾습니다.

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12} x=\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}$$

찾은 솔루션을 모두 나열합니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{6} x=-\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12} x=\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

해답 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(12x+7\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\left(144x^{2}+168x+49\right)\left(3x+2\right)\left(2x+1\right)=3$$

분배 법칙을 사용하여 144x^{2}+168x+49에 3x+2(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$\left(432x^{3}+792x^{2}+483x+98\right)\left(2x+1\right)=3$$

분배 법칙을 사용하여 432x^{3}+792x^{2}+483x+98에 2x+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98=3$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98-3=0$$

98에서 3을(를) 빼고 95을(를) 구합니다.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95=0$$

이항 모든 유리 루트는 p 95 상수 항을 나누고 q 선행 계수 864을 분할 하는 형식 \frac{p}{q}에 있습니다. \frac{p}{q} 모든 후보를 나열하세요.

$$±\frac{95}{864},±\frac{95}{432},±\frac{95}{288},±\frac{95}{216},±\frac{95}{144},±\frac{95}{108},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{54},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{27},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{864},±\frac{19}{432},±\frac{19}{288},±\frac{19}{216},±\frac{19}{144},±\frac{19}{108},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{54},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{27},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{864},±\frac{5}{432},±\frac{5}{288},±\frac{5}{216},±\frac{5}{144},±\frac{5}{108},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{54},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{27},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{864},±\frac{1}{432},±\frac{1}{288},±\frac{1}{216},±\frac{1}{144},±\frac{1}{108},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

절대값으로 가장 작은 정수 값부터 모두 시도하여 해당 루트를 찾습니다. 정수 루트를 찾을 수 없는 경우 분수를 시도하세요.

$$x=-\frac{1}{3}$$

인수정리를 통해 x-k은(는) 각 루트 k에 대한 다항식의 한 인수입니다. 864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95을(를) 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1(으)로 나눠서 288x^{3}+576x^{2}+394x+95을(를) 구합니다. 결과가 0와 같은 수식을 계산 합니다.

$$288x^{3}+576x^{2}+394x+95=0$$

이항 모든 유리 루트는 p 95 상수 항을 나누고 q 선행 계수 288을 분할 하는 형식 \frac{p}{q}에 있습니다. \frac{p}{q} 모든 후보를 나열하세요.

$$±\frac{95}{288},±\frac{95}{144},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{288},±\frac{19}{144},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{288},±\frac{5}{144},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{288},±\frac{1}{144},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

절대값으로 가장 작은 정수 값부터 모두 시도하여 해당 루트를 찾습니다. 정수 루트를 찾을 수 없는 경우 분수를 시도하세요.

$$x=-\frac{5}{6}$$

인수정리를 통해 x-k은(는) 각 루트 k에 대한 다항식의 한 인수입니다. 288x^{3}+576x^{2}+394x+95을(를) 6\left(x+\frac{5}{6}\right)=6x+5(으)로 나눠서 48x^{2}+56x+19을(를) 구합니다. 결과가 0와 같은 수식을 계산 합니다.

$$48x^{2}+56x+19=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 48(으)로, b을(를) 56(으)로, c을(를) 19(으)로 대체합니다.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\times 48\times 19}}{2\times 48}$$

계산을 합니다.

$$x=\frac{-56±\sqrt{-512}}{96}$$

실제 필드에서 음수의 제곱근이 정의되지 않았으므로 해답이 없습니다.

$$x\in \emptyset$$

찾은 솔루션을 모두 나열합니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{6}$$