다음을 풀어보세요: left(12-xright)^2+144=9x^2

$${ \left(12-x \right) }^{ 2 } +144=9 { x }^{ 2 }$$

x에 대한 해

$$x = \frac{3 \sqrt{17} - 3}{2} \approx 4.684658438$$

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}\approx -7.684658438$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(12-x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

144과(와) 144을(를) 더하여 288을(를) 구합니다.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

양쪽 모두에서 9x^{2}을(를) 뺍니다.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

x^{2}과(와) -9x^{2}을(를) 결합하여 -8x^{2}(을)를 구합니다.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-8x^{2}-24x+288=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -8을(를) a로, -24을(를) b로, 288을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

-24을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

-4에 -8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+32\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

32에 288을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+9216}}{2\left(-8\right)}$$

576을(를) 9216에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{9792}}{2\left(-8\right)}$$

9792의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

-24의 반대는 24입니다.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

2에 -8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}을(를) 풉니다. 24을(를) 24\sqrt{17}에 추가합니다.

$$x=\frac{24\sqrt{17}+24}{-16}$$

24+24\sqrt{17}을(를) -16(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}을(를) 풉니다. 24에서 24\sqrt{17}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{24-24\sqrt{17}}{-16}$$

24-24\sqrt{17}을(를) -16(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(12-x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

144과(와) 144을(를) 더하여 288을(를) 구합니다.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

양쪽 모두에서 9x^{2}을(를) 뺍니다.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

x^{2}과(와) -9x^{2}을(를) 결합하여 -8x^{2}(을)를 구합니다.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

양쪽 모두에서 288을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$-24x-8x^{2}=-288$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-8x^{2}-24x=-288$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$\frac{-8x^{2}-24x}{-8}=-\frac{288}{-8}$$

-8(으)로 나누면 -8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-8}\right)x=-\frac{288}{-8}$$

-24을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=-\frac{288}{-8}$$

-288을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=36$$

x 항의 계수인 3을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=36+\frac{9}{4}$$

36을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{153}{4}$$

x^{2}+3x+\frac{9}{4}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{153}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{17}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{17}}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$