다음을 풀어보세요: {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

x에 대한 해

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

근의 공식을 사용한 단계

0과(와) 5을(를) 곱하여 0(을)를 구합니다.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

모든 항목에 0을 곱한 결과는 0입니다.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

0의 2제곱을 계산하여 0을(를) 구합니다.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(5-15x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

0과(와) 25을(를) 더하여 25을(를) 구합니다.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(1+x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

25에서 1을(를) 빼고 24을(를) 구합니다.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

-150x과(와) -2x을(를) 결합하여 -152x(을)를 구합니다.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

225x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 224x^{2}(을)를 구합니다.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 224을(를) a로, -152을(를) b로, 24을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

-152을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

-4에 224을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

-896에 24을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

23104을(를) -21504에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

1600의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

-152의 반대는 152입니다.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

2에 224을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{152±40}{448}을(를) 풉니다. 152을(를) 40에 추가합니다.

$$x=\frac{192}{448}$$

64을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{192}{448}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{3}{7}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{152±40}{448}을(를) 풉니다. 152에서 40을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{112}{448}$$

112을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{112}{448}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

제곱 완성 단계

0과(와) 5을(를) 곱하여 0(을)를 구합니다.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

모든 항목에 0을 곱한 결과는 0입니다.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

0의 2제곱을 계산하여 0을(를) 구합니다.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(5-15x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

0과(와) 25을(를) 더하여 25을(를) 구합니다.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(1+x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

-150x과(와) -2x을(를) 결합하여 -152x(을)를 구합니다.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

225x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 224x^{2}(을)를 구합니다.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

양쪽 모두에서 25을(를) 뺍니다.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

1에서 25을(를) 빼고 -24을(를) 구합니다.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$224x^{2}-152x=-24$$

양쪽을 224(으)로 나눕니다.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

224(으)로 나누면 224(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-152}{224}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-24}{224}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

x 항의 계수인 -\frac{19}{28}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{19}{56}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{19}{56}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{19}{56}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{28}을(를) \frac{361}{3136}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

인수 x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

수식의 양쪽에 \frac{19}{56}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$