다음을 풀어보세요: {left(sqrt{2}+sqrt{5}right)}^2-{left(2+sqrt{10}right)}^2+sqrt{90}+left(2sqrt{2}-1right)left(2sqrt{2}+1right)

$${ \left( \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 } - { \left(2+ \sqrt{ 10 } \right) }^{ 2 } + \sqrt{ 90 } + \left( 2 \sqrt{ 2 } -1 \right) \left( 2 \sqrt{ 2 } +1 \right)$$

계산

$$\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

해답 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\sqrt{2}의 제곱은 2입니다.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\sqrt{2}와 \sqrt{5}를 곱하려면 제곱근 아래에 숫자를 곱합니다.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\sqrt{5}의 제곱은 5입니다.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

2과(와) 5을(를) 더하여 7을(를) 구합니다.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2+\sqrt{10}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\sqrt{10}의 제곱은 10입니다.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

4과(와) 10을(를) 더하여 14을(를) 구합니다.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

14+4\sqrt{10}의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

7에서 14을(를) 빼고 -7을(를) 구합니다.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

2\sqrt{10}과(와) -4\sqrt{10}을(를) 결합하여 -2\sqrt{10}(을)를 구합니다.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

90=3^{2}\times 10을(를) 인수 분해합니다. 곱의 제곱근 \sqrt{3^{2}\times 10}을(를) 제곱근의 곱 \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}(으)로 다시 작성합니다. 3^{2}의 제곱근을 구합니다.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

-2\sqrt{10}과(와) 3\sqrt{10}을(를) 결합하여 \sqrt{10}(을)를 구합니다.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 1을(를) 제곱합니다.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

\left(2\sqrt{2}\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

\sqrt{2}의 제곱은 2입니다.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

4과(와) 2을(를) 곱하여 8(을)를 구합니다.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

8에서 1을(를) 빼고 7을(를) 구합니다.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

-7과(와) 7을(를) 더하여 0을(를) 구합니다.

$$\sqrt{10}$$