다음을 풀어보세요: sqrt{x}=sqrt{1+sqrt{x}}

$$\sqrt{ x } = \sqrt{ 1+ \sqrt{ x } }$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

해답 단계

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

\sqrt{x}의 2제곱을 계산하여 x을(를) 구합니다.

$$x=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

\sqrt{1+\sqrt{x}}의 2제곱을 계산하여 1+\sqrt{x}을(를) 구합니다.

$$x=1+\sqrt{x}$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$x-1=\sqrt{x}$$

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

\sqrt{x}의 2제곱을 계산하여 x을(를) 구합니다.

$$x^{2}-2x+1=x$$

양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-2x+1-x=0$$

-2x과(와) -x을(를) 결합하여 -3x(을)를 구합니다.

$$x^{2}-3x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -3을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

-3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

9을(를) -4에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-3의 반대는 3입니다.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}을(를) 풉니다. 3을(를) \sqrt{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}을(를) 풉니다. 3에서 \sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

수식 \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}에서 \frac{\sqrt{5}+3}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

단순화합니다. 값 x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}은 수식을 만족합니다.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

수식 \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}에서 \frac{3-\sqrt{5}}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}}$$

단순화합니다. 값이 x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} 수식을 충족하지 않습니다.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

수식 \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}에서 \frac{\sqrt{5}+3}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

단순화합니다. 값 x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}은 수식을 만족합니다.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

수식 \sqrt{x}=\sqrt{\sqrt{x}+1}에는 고유한 솔루션이 있습니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$