다음을 풀어보세요: sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

해답 단계

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

\sqrt{x^{2}-1}의 2제곱을 계산하여 x^{2}-1을(를) 구합니다.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

\sqrt{2x+1}의 2제곱을 계산하여 2x+1을(를) 구합니다.

$$x^{2}-1=2x+1$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-1-2x=1$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

-1에서 1을(를) 빼고 -2을(를) 구합니다.

$$x^{2}-2-2x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}-2x-2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -2을(를) b로, -2을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

-4에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

4을(를) 8에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

12의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}을(를) 풉니다. 2을(를) 2\sqrt{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

2+2\sqrt{3}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=\sqrt{3}+1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}을(를) 풉니다. 2에서 2\sqrt{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

2-2\sqrt{3}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=1-\sqrt{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

수식 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}에서 \sqrt{3}+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

단순화합니다. 값 x=\sqrt{3}+1은 수식을 만족합니다.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

수식 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}에서 1-\sqrt{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

단순화합니다. 값 x=1-\sqrt{3}은 수식을 만족합니다.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}의 모든 솔루션을 나열합니다.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

x에 대한 해

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

해답 단계

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

\sqrt{x^{2}-1}의 2제곱을 계산하여 x^{2}-1을(를) 구합니다.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

\sqrt{2x+1}의 2제곱을 계산하여 2x+1을(를) 구합니다.

$$x^{2}-1=2x+1$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-1-2x=1$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

-1에서 1을(를) 빼고 -2을(를) 구합니다.

$$x^{2}-2-2x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}-2x-2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -2을(를) b로, -2을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

-4에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

4을(를) 8에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

12의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}을(를) 풉니다. 2을(를) 2\sqrt{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

2+2\sqrt{3}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=\sqrt{3}+1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}을(를) 풉니다. 2에서 2\sqrt{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

2-2\sqrt{3}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=1-\sqrt{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

수식 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}에서 \sqrt{3}+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

단순화합니다. 값 x=\sqrt{3}+1은 수식을 만족합니다.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

수식 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}에서 1-\sqrt{3}을(를) x(으)로 치환합니다. 루트 안의 수(radicand)는 음수가 될 수 없으므로 표현식 \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}는 정의되지 않습니다.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

수식 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}에는 고유한 솔루션이 있습니다.

$$x=\sqrt{3}+1$$