다음을 풀어보세요: sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

해답 단계

수식의 양쪽에서 -\sqrt{15+x^{2}}을(를) 뺍니다.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{25-x^{2}}의 2제곱을 계산하여 25-x^{2}을(를) 구합니다.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{15+x^{2}}의 2제곱을 계산하여 15+x^{2}을(를) 구합니다.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

16과(와) 15을(를) 더하여 31을(를) 구합니다.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

수식의 양쪽에서 31+x^{2}을(를) 뺍니다.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

31+x^{2}의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

25에서 31을(를) 빼고 -6을(를) 구합니다.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 -2x^{2}(을)를 구합니다.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(-6-2x^{2}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

8의 2제곱을 계산하여 64을(를) 구합니다.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{15+x^{2}}의 2제곱을 계산하여 15+x^{2}을(를) 구합니다.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

분배 법칙을 사용하여 64에 15+x^{2}(을)를 곱합니다.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

양쪽 모두에서 960을(를) 뺍니다.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

36에서 960을(를) 빼고 -924을(를) 구합니다.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

양쪽 모두에서 64x^{2}을(를) 뺍니다.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

24x^{2}과(와) -64x^{2}을(를) 결합하여 -40x^{2}(을)를 구합니다.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

x^{2}에 대한 대체 t입니다.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 4(으)로, b을(를) -40(으)로, c을(를) -924(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{40±128}{8} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=21 t=-11$$

x=t^{2} 후에는 각 t에 대한 x=±\sqrt{t}을(를) 평가하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

수식 \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4에서 -\sqrt{21}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

단순화합니다. 값 x=-\sqrt{21}는 왼쪽과 오른쪽에 반대 부호가 있기 때문에 수식을 만족하지 않습니다.

$$-4=4$$

수식 \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4에서 \sqrt{21}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

단순화합니다. 값 x=\sqrt{21}는 왼쪽과 오른쪽에 반대 부호가 있기 때문에 수식을 만족하지 않습니다.

$$-4=4$$

수식 \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4에서 -\sqrt{11}i을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

단순화합니다. 값 x=-\sqrt{11}i은 수식을 만족합니다.

$$4=4$$

수식 \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4에서 \sqrt{11}i을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

단순화합니다. 값 x=\sqrt{11}i은 수식을 만족합니다.

$$4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4의 모든 솔루션을 나열합니다.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$