다음을 풀어보세요: {l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29}

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$10x+2y=-78$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$10x=-2y-78$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

\frac{1}{10}에 -2y-78을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

다른 수식 -3x-2y=-29에서 \frac{-y-39}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

-3에 \frac{-y-39}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

\frac{3y}{5}을(를) -2y에 추가합니다.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

수식의 양쪽에서 \frac{117}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{262}{7}$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}에서 y을(를) \frac{262}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{5}에 \frac{262}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{39}{5}을(를) -\frac{262}{35}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{107}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

10x 및 -3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 10을(를) 곱합니다.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

단순화합니다.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -30x-6y=234에서 -30x-20y=-290을(를) 뺍니다.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

-30x을(를) 30x에 추가합니다. -30x 및 30x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y+20y=234+290$$

-6y을(를) 20y에 추가합니다.

$$14y=234+290$$

234을(를) 290에 추가합니다.

$$14y=524$$

양쪽을 14(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{262}{7}$$

-3x-2y=-29에서 y을(를) \frac{262}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

-2에 \frac{262}{7}을(를) 곱합니다.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

수식의 양쪽에 \frac{524}{7}을(를) 더합니다.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{107}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$