다음을 풀어보세요: {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

y, x에 대한 해

$$x=2$$

$$y=-8$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 5을(를) 곱합니다.

$$27+4y=-4x+3$$

양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$27+4y+4x=3$$

양쪽 모두에서 27을(를) 뺍니다.

$$4y+4x=3-27$$

3에서 27을(를) 빼고 -24을(를) 구합니다.

$$4y+4x=-24$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$8x+3y=-8$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$4y+4x=-24$$

수식의 양쪽에서 4x을(를) 뺍니다.

$$4y=-4x-24$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

\frac{1}{4}에 -4x-24을(를) 곱합니다.

$$y=-x-6$$

다른 수식 3y+8x=-8에서 -x-6을(를) y(으)로 치환합니다.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

3에 -x-6을(를) 곱합니다.

$$-3x-18+8x=-8$$

-3x을(를) 8x에 추가합니다.

$$5x-18=-8$$

수식의 양쪽에 18을(를) 더합니다.

$$5x=10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

y=-x-6에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-2-6$$

-6을(를) -2에 추가합니다.

$$y=-8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-8,x=2$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 5을(를) 곱합니다.

$$27+4y=-4x+3$$

양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$27+4y+4x=3$$

양쪽 모두에서 27을(를) 뺍니다.

$$4y+4x=3-27$$

3에서 27을(를) 빼고 -24을(를) 구합니다.

$$4y+4x=-24$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$8x+3y=-8$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-8,x=2$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 5을(를) 곱합니다.

$$27+4y=-4x+3$$

양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$27+4y+4x=3$$

양쪽 모두에서 27을(를) 뺍니다.

$$4y+4x=3-27$$

3에서 27을(를) 빼고 -24을(를) 구합니다.

$$4y+4x=-24$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$8x+3y=-8$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

4y 및 3y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

단순화합니다.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12y+12x=-72에서 12y+32x=-32을(를) 뺍니다.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

12y을(를) -12y에 추가합니다. 12y 및 -12y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12x-32x=-72+32$$

12x을(를) -32x에 추가합니다.

$$-20x=-72+32$$

-72을(를) 32에 추가합니다.

$$-20x=-40$$

양쪽을 -20(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

3y+8x=-8에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3y+8\times 2=-8$$

8에 2을(를) 곱합니다.

$$3y+16=-8$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$3y=-24$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=-8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-8,x=2$$