다음을 풀어보세요: {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=8$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x+y=5$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=5$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+5$$

다른 수식 7x+3y=47에서 -y+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

7에 -y+5을(를) 곱합니다.

$$-7y+35+3y=47$$

-7y을(를) 3y에 추가합니다.

$$-4y+35=47$$

수식의 양쪽에서 35을(를) 뺍니다.

$$-4y=12$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

x=-y+5에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

-1에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=3+5$$

5을(를) 3에 추가합니다.

$$x=8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=8,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x+y=5$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=8,y=-3$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x+y=5$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

단순화합니다.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 7x+7y=35에서 7x+3y=47을(를) 뺍니다.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

7x을(를) -7x에 추가합니다. 7x 및 -7x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$7y-3y=35-47$$

7y을(를) -3y에 추가합니다.

$$4y=35-47$$

35을(를) -47에 추가합니다.

$$4y=-12$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

7x+3y=47에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

3에 -3을(를) 곱합니다.

$$7x-9=47$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$7x=56$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=8,y=-3$$