다음을 풀어보세요: {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 1+y(을)를 곱합니다.

$$x+2y=3+3y+1$$

3과(와) 1을(를) 더하여 4을(를) 구합니다.

$$x+2y=4+3y$$

양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x+2y-3y=4$$

2y과(와) -3y을(를) 결합하여 -y(을)를 구합니다.

$$x-y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 1-y(을)를 곱합니다.

$$8-y=2-2y+3x$$

양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y과(와) 2y을(를) 결합하여 y(을)를 구합니다.

$$8+y=2+3x$$

양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$8+y-3x=2$$

양쪽 모두에서 8을(를) 뺍니다.

$$y-3x=2-8$$

2에서 8을(를) 빼고 -6을(를) 구합니다.

$$y-3x=-6$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=4$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y+4$$

다른 수식 -3x+y=-6에서 y+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

-3에 y+4을(를) 곱합니다.

$$-3y-12+y=-6$$

-3y을(를) y에 추가합니다.

$$-2y-12=-6$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$-2y=6$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

x=y+4에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3+4$$

4을(를) -3에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 1+y(을)를 곱합니다.

$$x+2y=3+3y+1$$

3과(와) 1을(를) 더하여 4을(를) 구합니다.

$$x+2y=4+3y$$

양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x+2y-3y=4$$

2y과(와) -3y을(를) 결합하여 -y(을)를 구합니다.

$$x-y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 1-y(을)를 곱합니다.

$$8-y=2-2y+3x$$

양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y과(와) 2y을(를) 결합하여 y(을)를 구합니다.

$$8+y=2+3x$$

양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$8+y-3x=2$$

양쪽 모두에서 8을(를) 뺍니다.

$$y-3x=2-8$$

2에서 8을(를) 빼고 -6을(를) 구합니다.

$$y-3x=-6$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=-3$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 1+y(을)를 곱합니다.

$$x+2y=3+3y+1$$

3과(와) 1을(를) 더하여 4을(를) 구합니다.

$$x+2y=4+3y$$

양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x+2y-3y=4$$

2y과(와) -3y을(를) 결합하여 -y(을)를 구합니다.

$$x-y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 1-y(을)를 곱합니다.

$$8-y=2-2y+3x$$

양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y과(와) 2y을(를) 결합하여 y(을)를 구합니다.

$$8+y=2+3x$$

양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$8+y-3x=2$$

양쪽 모두에서 8을(를) 뺍니다.

$$y-3x=2-8$$

2에서 8을(를) 빼고 -6을(를) 구합니다.

$$y-3x=-6$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x 및 -3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

단순화합니다.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3x+3y=-12에서 -3x+y=-6을(를) 뺍니다.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

-3x을(를) 3x에 추가합니다. -3x 및 3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3y-y=-12+6$$

3y을(를) -y에 추가합니다.

$$2y=-12+6$$

-12을(를) 6에 추가합니다.

$$2y=-6$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

-3x+y=-6에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3x-3=-6$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$-3x=-3$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-3$$