다음을 풀어보세요: {l}{9y-6=x}{2x-8y=18}

$$\left. \begin{array}{l}{ 9 y - 6 = x }\\{ 2 x - 8 y = 18 }\end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=21$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$9y-6-x=0$$

양쪽에 6을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$9y-x=6$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9y-x=6,-8y+2x=18$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$9y-x=6$$

수식의 양쪽에 x을(를) 더합니다.

$$9y=x+6$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{9}\left(x+6\right)$$

\frac{1}{9}에 x+6을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{1}{9}x+\frac{2}{3}$$

다른 수식 -8y+2x=18에서 \frac{x}{9}+\frac{2}{3}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-8\left(\frac{1}{9}x+\frac{2}{3}\right)+2x=18$$

-8에 \frac{x}{9}+\frac{2}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{16}{3}+2x=18$$

-\frac{8x}{9}을(를) 2x에 추가합니다.

$$\frac{10}{9}x-\frac{16}{3}=18$$

수식의 양쪽에 \frac{16}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{10}{9}x=\frac{70}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{10}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=21$$

y=\frac{1}{9}x+\frac{2}{3}에서 x을(를) 21(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{1}{9}\times 21+\frac{2}{3}$$

\frac{1}{9}에 21을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{7+2}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{3}을(를) \frac{7}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=3,x=21$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$9y-6-x=0$$

양쪽에 6을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$9y-x=6$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9y-x=6,-8y+2x=18$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&\frac{9}{9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\\\frac{4}{5}&\frac{9}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{1}{10}\times 18\\\frac{4}{5}\times 6+\frac{9}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=3,x=21$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$9y-6-x=0$$

양쪽에 6을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$9y-x=6$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9y-x=6,-8y+2x=18$$

9y 및 -8y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$-8\times 9y-8\left(-1\right)x=-8\times 6,9\left(-8\right)y+9\times 2x=9\times 18$$

단순화합니다.

$$-72y+8x=-48,-72y+18x=162$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -72y+8x=-48에서 -72y+18x=162을(를) 뺍니다.

$$-72y+72y+8x-18x=-48-162$$

-72y을(를) 72y에 추가합니다. -72y 및 72y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8x-18x=-48-162$$

8x을(를) -18x에 추가합니다.

$$-10x=-48-162$$

-48을(를) -162에 추가합니다.

$$-10x=-210$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x=21$$

-8y+2x=18에서 x을(를) 21(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-8y+2\times 21=18$$

2에 21을(를) 곱합니다.

$$-8y+42=18$$

수식의 양쪽에서 42을(를) 뺍니다.

$$-8y=-24$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=3,x=21$$