다음을 풀어보세요: {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-3$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-4y=-7$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$5x=4y-7$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

\frac{1}{5}에 4y-7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

다른 수식 -6x+8y=2에서 \frac{4y-7}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

-6에 \frac{4y-7}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

-\frac{24y}{5}을(를) 8y에 추가합니다.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

수식의 양쪽에서 \frac{42}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{16}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-2$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

\frac{4}{5}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{5}을(를) -\frac{8}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-3,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

5x 및 -6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

단순화합니다.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -30x+24y=42에서 -30x+40y=10을(를) 뺍니다.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

-30x을(를) 30x에 추가합니다. -30x 및 30x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$24y-40y=42-10$$

24y을(를) -40y에 추가합니다.

$$-16y=42-10$$

42을(를) -10에 추가합니다.

$$-16y=32$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

-6x+8y=2에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

8에 -2을(를) 곱합니다.

$$-6x-16=2$$

수식의 양쪽에 16을(를) 더합니다.

$$-6x=18$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=-2$$